Feladat: 1574. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/november, 141 - 142. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Körülírt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/március: 1574. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Mivel D a derékszög felezőjén van, ezért a CA, CB befogótól való CB', CA' távolságai egyenlők. És mivel D az AB átfogón is rajta van, azért a D körüli 90∘-os elfordítás (bármelyik irányban) az EF egyenest az AB egyenesbe viszi át.

 

 

Válasszuk úgy az elfordítás irányát, hogy a DF félegyenes a DA félegyenesre jusson. Ez az elfordítás az F-et tartalmazó BC egyenes A' pontját B'-be viszi és magát BC-t az eredeti helyzetére merőleges egyenesbe, tehát CA-ba. Így F elfordítottja rajta van CA-n is, AB-n is, tehát F azonos A-val, DF=DA, amint a feladat állítja. ‐ Ugyanígy az ellentétes irányú 90∘-os elfordítás B'-t A'-be és E-t a CB egyenesre viszi, így E elfordítottja azonos B-vel.
2. Az ABF háromszögben E a magasságpont szerepét játssza, hiszen rajta van e háromszög F-ből és A-ból kiinduló magasságegyenesén. Így pedig E-nek az AB oldalon való tükörképe ‐ ismert tétel szerint ‐ rajta van az ABF háromszög köré írt körön. Ezzel a megoldást befejeztük.
 

Megjegyzés. A CA=CB esetben az A-nál és a B-nél levő szög 45∘-os, és E, F egybeesik C-vel, így DCA és DCB is egyenlő szárú derékszögű háromszögek, az első állítás nyilvánvaló. Nem kell hivatkozni a felhasznált ,,erős'' tételre sem ebben az esetben. Elég ennyi: E-nek ‐ azaz C-nek ‐ AB-re való tükörképe négyzetté egészíti ki a BCA, azaz BFA háromszöget, és egy négyzet bármelyik 3 csúcsán átmenő kör átmegy a negyedik csúcson is.
 

II. megoldás. a feladat 1. állítására az AC≠BC esetben. Ekkor E, F és C különböző pontok. Az AF szakasz C-ből is, D-ből is derékszögben látszik, D és C az AF átmérő fölötti Thalész-kör pontjai és a C, F pontok az AD egyenesnek ugyanazon a partján vannak. Ezért a DFA∢ és DCA∢ a körnek a rövidebbik DA ívére néző kerületi szögek, DFA∢=45∘, amiből DF=DA.
Bizonyításunkban A helyére B-t, F helyére E-t cserélve DE=DB.