Kezdőlap


Feladat:	1573. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Németh Ferenc
Füzet:	1975/november, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/március: 1573. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B = i$ ív tetszőleges pontja $C$ . Avégett, hogy $A$ -tól és $B$ -től való távolságának vizsgálandó összegét egy szakaszban lássuk, fordítsuk rá $C$ körül $B$ -t az $A C$ szakasz meghosszabbítására, és legyen $B$ új helyzete $B'$ .

Ekkor a

C B B'

háromszög egyenlő szárú, és benne a

B B'

alapon levő szögek a külső szög tétele alapján fele akkorák, mint az

A C B

szög, amelyről pedig azt tudjuk, hogy

C

minden figyelembe veendő helyzetére állandó

γ

érték, hiszen

C A

és

C B

szárai az

i

-t tartalmazó körből mindig az

i

-t kiegészítő

i_{1}

ívet zárják közre. Eszerint

A B' B ∢ = γ / 2

, állandó.
Mivel még

B'

A B

egyenesnek mindig ugyanazon a partján van, mint

C

és az ív, azért

B'

mértani helye az

A B

szakasz

γ / 2

nyílású látószögköríve az

i

-t tartalmazó parton, és

C

-t

B'

minden egyes helyzetéhez úgy kapjuk vissza, hogy

A B'

-vel metsszük

i

-t. A látókörív középpontja az

A B

szakasz

m

felező merőlegesének az a pontja, melybő1

A B

látószöge

2 \cdot (γ / 2) = γ

, vagyis

i

-nek és

m

-nek közös

D

pontja.
Mármost az

A C + C B = A B'

összeg ‐ mint a látókörív húrja ‐ akkor a legnagyobb, ha éppen átmérő, vagyis

A B'

átmegy

D

-n, és ekkor

B'

-höz

C

keresett helyzeteként éppen

D

adódik. Eredményünk tehát egyszerűen fejezhető ki: a keresett pont az adott

A B

ív felezőpontja.

Németh Ferenc (Tata, Eötvös J., II. o. t.)

Megjegyzések. l. Néhányan észrevették, hogy a megoldás kulcsa olvasható volt lapunk ugyanabban a számában (1975. évi 3. szám) az 1352. gyakorlatban, amelyben ezen gyakorlat kitűzése megjelent.
2. Számosan viszont a fentinél bonyolultabb, goniometriai számításokon alapuló megoldást küldtek be. Erősebb eszközök használata azonban csak akkor célszerű, ha velük egyszerűbben, rövidebben érünk célba.