Kezdőlap


Feladat:	1572. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bognár Gabriella
Füzet:	1975/november, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/március: 1572. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha megvizsgálunk néhány természetes számot, az a sejtésünk támad, hogy a hányadosok között $9 / 81 = 1 / 9$ a legkisebb. A továbbiakban ezt a sejtésünket igazoljuk.
Az egyjegyű számokra a kérdéses hányados $n / n^{2} = 1 / n$ , ezek között valóban a legkisebb az $1 / 9$ .
Ha most az $n$ szám legalább kétjegyű és tízes számrendszerbeli alakja $a_{k} a_{k - 1} ... a_{1} a_{0} (a_{k} \neq 0, k \geq 1)$ , akkor azt kell igazolnunk, hogy

\begin{matrix} \frac{n}{\sum_{i = 0}^{k} a_{i}^{2}} = \frac{10^{k} a_{k} + 10^{k - 1} a_{k - 1} + ... + 10 a_{1} + a_{0}}{a_{k}^{2} + a_{k - 1}^{2} + ... + a_{1}^{2} + a_{0}^{2}} > \frac{1}{9}, \end{matrix}

azonos átalakítások után

\begin{matrix} a_{k} (9 \cdot 10^{k} - a_{k}) + a_{k - 1} (9 \cdot 10^{k - 1} - a_{k - 1}) + ... + a_{0} (9 - a_{0}) > 0. \end{matrix}

Mivel

a_{0}, ..., a_{k}

mind

0

és

9

közé eső számjegyek, ezért a bal oldal mindegyik tagja nem-negatív, első tagja pedig

a_{k} \neq 0

és

k \geq 1

miatt pozitív; tehát a kérdéses egyenlőtlenség is fennáll.
Így valóban

1 / 9

a legkisebb a hányadosok között.

Bognár Gabriella (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A feladat szövegében némelyek számára furcsának tűnhet ez a rész: ,,van-e az így kapott hányadosok között legkisebb'', hiszen megszoktuk, hogy megadott számok között mindig van legkisebb. Ez azonban koránt sincs mindig így. Például nincs legkisebb az egész számok, a racionális számok vagy akár a valós számok között. De nincs legkisebb pozitív racionális szám sem: minden

g

pozitív racionális számnál

g / 2

kisebb és szintén pozitív racionális szám. Ugyanúgy, ha vesszük, gondolatban minden természetes szám reciprokát, akkor az így adódó hányadosok között sem lesz legkisebb. Nem volt tehát felesleges óvatosság a kérdésbe ezt a részt beszúrni.
De mikor tudjuk biztosan, hogy bizonyos számok között van-e legkisebb, mi az, ami megmondja, hogy számok egy csoportjában, halmazában mikor van feltétlenül legkisebb elem? Nos, ezt a halmaz elemeinek száma, a halmaz számossága mutatja meg. Ha a halmazban véges sok szám van, azaz a számokat le tudjuk számlálni, meg tudjuk mondani, hány darab szám van a halmazban (tíz, száz stb.), akkor a halmazban szereplő számok között feltétlenül van legkisebb (és legnagyobb is). Ha azonban a halmazban végtelen sok szám van, akkor lehetséges ugyan, hogy van a számok között legkisebb (mint példánkban), de az nem biztos.
Fel szeretnénk hívni a figyelmet arra, hogy a matematikában a végtelen szót mindig nem véges értelemben használjuk. A fenti példában egy halmaz véges, ha az őt alkotó számokat le tudjuk számolni, meg tudjuk mondani, hány darabból áll a halmaz. Egy halmaz végtelen, ha alkotóelemeit nem tudjuk leszámlálni, mint például az egész vagy valós számok esetében.