Feladat: 1567. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Tábori László ,  Vándor Tibor 
Füzet: 1975/november, 137 - 138. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Körök, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/február: 1567. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy van megoldása a feladatnak, és jelöljük a szelőnek a körökkel való egymás utáni metszéspontjait rendre A, B, C, D betűvel. Eszerint A és D a nagyobbik körön, k-n vannak, B és C a kisebbik körön, k0-on, és AB=BC=CD=AD/3. Legyen még köreink közös középpontja O és OA=r, OB=r0(<r).

 

 

Ha találtunk egy megfelelő s szelőt, és ennek O-tól mért távolsága d(<r0), akkor s-et O körül forgatva nyilvánvalóan minden helyzetében megfelel, vagyis az O körüli, d sugarú kör minden érintője megoldása a feladatnak ‐ és más megoldás nincs is. (Lehet az is, hogy d=0, vagyis a szelő átmegy O-n.) Ezért a szelőnek az egyik körön levő egyik metszéspontját szabadon megválaszthatjuk.
Válasszuk meg k0-on B helyzetét. Ekkor A a C-nek B-re vonatkozó tükörképe, így A rajta van k0-nak B-re vonatkozó k1 tükörképén is, tehát A közös pontja k-nak és k1-nek. Ezzel mindjárt eljárást is kaptunk A kijelölésére, és ekkor a keresett szelő az AB egyenes.
Az AB egyenes valóban megfelel. Ugyanis még egyszer metszi k és k0 mindegyikét: k-t egy D pontban azért, mert az egyenes B pontja a k-ra nézve belső pont, k0-t pedig azért, mert A-nak ‐ mint k1 egy pontjának ‐ a B-re való C tükörképe a k0-on van és BA>0 miatt BC=BA>0. Végül D az A-nak tükörképe a BC húr felező merőlegesére, hiszen ez a k-nak és k0-nak közös szimmetriatengelye, tehát DC=AB=BC.
A k és k1 körök közös pontjainak száma 2, 1 vagy 0 aszerint, hogy k1-nek O-tól legtávolabbi T pontja kívül van k-n, vagy éppen ráesik ‐ azaz k1 belülről érinti k-t ‐, illetve ha T a k belsejében adódik. Mivel nyilvánvalóan OT=3r0, azért a megoldhatóság feltétele 3r0≥r. Egyenlőség esetén a szelő átmegy O-n. Ha k-nak és k1-nek 2 közös pontja van, a belőlük adódó két szelőre nézve a fenti d körsugár egyező, tehát nem vezetnek különböző hosszúságú szelőkre.
 

  Tábori László (Nagykanizsa, Landler J. Gimn., I. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Ugyanezt a megoldást mondhatjuk így is: C-t ‐ mint A képét ‐ kimetszi k0 ból k-nak B-re vonatkozó k2 tükörképe (ami persze koncentrikus k1-gyel).
2. Hasonlósági transzformációval többféleképpen is megoldhatjuk a feladatot az A, B, C, D pontok közti távolságok egyszerű arányai alapján. (Tulajdonképpen az eddigi két tükrözés is ilyen, a nagyítási arány 1 volt.)
Egy ilyet írunk le a szelő k-n levő A pontjának megválasztásából kiindulva. Ekkor AC:AB=2 alapján C-t kimetszi k0 ból magának k0 nak A-ból mint centrumból, a 2-szeresére nagyított k3 képe és a szelő az AC egyenes.
 

II. megoldás. Tetszetős, egészen egyszerű ismereteket felhasználó megoldás a következő. Legyen k-nak a megválasztott A-val átellenes pontja E és az AE átmérőt harmadoló pontok L és M. Ekkor BL és CM párhuzamosak DE-vel, tehát merőlegesek a keresett húrra. Így C-t kimetszi k0-ból az AM átmérő fölötti k* Thalész-kör (amelynek középpontja L).
k* csak akkor metszi k0-t, ha M nincs kívül a k0-on, vagyis ha
OM=OE3=r3≤r0,
a követelmény azonos a fentivel.
 

  Vándor Tibor (Budapest, Kossuth L. Gimn., II. o. t.)
 

III. megoldás (vázlat). Legyen a BC, AD húrok közös felezőpontja F, és OF=d, BF=h, tehát BC=2h, AD=6h. Az OFB és OFA derékszögű háromszögekből
d2=r02-h2=r2-9h2,h2=r2-r028és2h=22r2-r02,d2=9r02-r28ésd=249r02-r2.


Ezek alapján akár h, akár d hossza, megfelelő derékszögű háromszögek és négyzetek felhasználásával megszerkeszthető, és a már ismert feltételek is kiadódnak.