Feladat: 1565. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Gyenes László ,  Piszkor Loránd 
Füzet: 1975/november, 136 - 137. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Természetes számok, Részhalmazok, Játékelmélet, játékok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/február: 1565. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a következő szabály szerinti hozzárendelés kielégíti a feladat követelményeit:

 

(i) Valamely csapathoz, legyen ez mondjuk X, hozzárendelünk egy tetszőleges x számot;
(ii) egy X-től különböző Y csapathoz rendeljük hozzá az x-d(X,Y) számot.
 

A feladat állítását tetszőleges A, B csapatra három lépésben bizonyítjuk be.
 

1. A azonos az X csapattal. Ekkor az X-hez és B-hez rendelt számok különbsége x-(x-d(X,B))=d(X,B), ahogyan azt kívántuk.
2. B azonos az X csapattal. Ekkor az a) feltétel szerint d(A,X)=-d(X,A); a csapatokhoz rendelt számok különbsége (x-d(X,A))-x=-d(X,A)=d(A,X).
3. A és B is különbözik X-től. Ekkor a b) feltétel szerint
d(X,A)+d(A,B)+d(B,X)=0,
ahonnan az a) feltételt felhasználva
d(A,B)=(x-d(X,A))-(x-d(X,B)),
azaz éppen az A-hoz és B-hez rendelt számok különbsége.
Mivel több lehetőség nincs, a hozzárendelés valóban rendelkezik a kívánt tulajdonsággal.
 

  Gyenes László (Moszkva, 225. sz. Középiskola, IX. o. t.)
 

Megjegyzés. A feladatban szereplő bajnokság igen különös, hiszen minden csapat azonos pontszámmal végzett, a gólkülönbség sem dönthet köztük, legfeljebb a gólarány.
 

  Piszkor Loránd (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)