Kezdőlap


Feladat:	1559. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Gyenes László , Homonnay Géza
Füzet:	1975/november, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: 1559. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A felbontás természetesen csak $k \leq n$ mellett lehetséges, ezt a továbbiakban feltesszük.
Az $n$ számot természetes szám összegére csak véges sokféleképpen tudjuk felbontani, így az összes felbontás között biztosan lesz olyan, amelyben az összeadandók szorzata a legnagyobb (lásd az 1572. gyakorlat megoldásához fűzött megjegyzéseket)^{$^{*}$}. Tekintsünk egy ilyen, maximális szorzatú felbontást.
Először belátjuk, hogy ebben a felbontásban nem lehet két olyan tag, melyek különbsége $1$ -nél nagyobb.
Tegyük fel ugyanis, hogy a felbontásban szerepel $u$ és $v$ , és $u - v > 1$ . Tekintsük $n$ -nek azt a felbontását, amelyben $u$ helyett $u - 1$ , $v$ helyett $v + 1$ szerepel, a többi tag pedig változatlan. Így a tagok összege továbbra is $n$ , azonban a két új tag szorzatára

\begin{matrix} (u - 1) (v + 1) = u \cdot v + (u - v - 1) > u \cdot v, \end{matrix}

így az új felbontásban szereplő tagok szorzata nagyobb lenne a régi szorzatnál ‐ ellentétben azzal, hogy az maximális volt. Így egy maximális szorzatú felbontásban csak valamely

u

értékű tag (vagy tagok) és

u + 1

értékű tag (vagy tagok) szerepelhetnek.
Most megmutatjuk, hogy ilyen tulajdonságú felbontás mindig pontosan egy van, ez pedig azt jelenti, hogy ennek a felbontásnak kel1 a szélsőértéket szolgáltatnia. (Azt, bogy ilyen felbontás létezik, onnan tudjuk, hogy van szélsőértéket szolgáltató felbontás ‐ annak pedig ezzel a tulajdonsággal rendelkeznie kell.)
Legyen a felbontásban szereplő,

(u + 1)

-gyel egyenlő tagok száma

t

0 \leq t < k

. Ekkor az

u

-val egyenlő tagok száma

k

-t, azaz

\begin{matrix} n = (k - t) \cdot u + t \cdot (u + 1), \end{matrix}

innen

\begin{matrix} u = \frac{n - t}{k} . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy

0 \leq t < k

, láthatjuk, hogy

u

csak az

n / k

hányados egész része lehet;

t

pedig az osztáskor kapott maradék. Tehát a szorzat akkor lesz a lehető legnagyobb, ha a felbontásban

(n - [\frac{n}{k}] \cdot k)

számú tag egyenlő

[\frac{n}{k}] + 1

-gyel, a többi tag pedig

[\frac{n}{k}]

-val.

Gyenes László (Moszkva, 225. sz. Középiskola, IX. o. t.)

Megjegyzés. Vizsgáljuk meg, hogy ha

k

-t nem tekintjük adottnak, azaz ha

n

-t felbontjuk természetes számok összegére, akkor az összeadandók szorzata mikor lesz a lehető legnagyobb. A fenti meggondolásunk szerint ebben a felbontásban is csak

1

-nél nem nagyobb különbségű tagok szerepelhetnek. (Ha nem így volna, a szorzatot a tagok számának változtatása nélkül is növelni tudnánk.) A felbontásban csak

5

-nél kisebb tag fordulhat elő, mert

t \geq 5

esetén

3 (t - 3 \geq t + 1 > t

. Egynél több

4

-es nem szerepelhet, mert

4 \cdot 4 < 3 \cdot 3 \cdot 2

. Ha egy

4

-es szerepel, azt helyettesíthetjük

2 \cdot 2

-vel, a szorzat értéke nem változik, végül kettőnél több

2

-es sem szerepelhet, mert

2 \cdot 2 \cdot 2 < 3 \cdot 3

1

-es pedig nyilván nem lehet.

Tehát a maximális felbontás:

ha

n = 3 m

, akkor

m

3

-as tag

(k = m)

;

ha

n = 3 m + 1

, akkor két

2

-es (vagy egy

4

-es) és

m

3

-as; (

k = m

vagy

m + 1

);

végül ha

n = 3 m + 2

, akkor egy

2

-es és

m

3

-as tag

(k = m + 1)

Homonnay Géza (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
Gyenes László (Moszkva, 225. sz. Középiskola, IX. o. t.)

^{$^{*}$}Jelen számunk 140. oldalán.