Feladat: 1552. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bogdán Klára 
Füzet: 1975/november, 133. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Többszemélyes véges játékok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/december: 1552. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel minden játszmában p+q+r golyót osztottak ki, és az utolsó játszma után a kiosztott golyók száma 20+10+9=39, azért 39 osztható p+q+r-rel. 0<p<q<r miatt p+q+r≥1+2+3=6, így p+q+r csak 13 vagy 39 lehet. Mivel legalább két játszma biztosan volt, azért

p+q+r=13,(1)
és összesen 39/13=3 játszmát játszottak.
Tudjuk, hogy B utoljára r golyót kapott, összesen pedig 10 golyót szerzett, így B a másik két alkalommal csak p golyót kaphatott, mert már p+q+r=13>10; így
2p+r=10.(2)
C golyóinak száma 9, így C r golyót nem kaphatott, hiszen (2) szerint már p+p+r is több, mint 9. Tehát a másik két alkalommal az r golyót A kapta.
Így, mivel a B játékos r golyót utoljára kapott, A az első és második játszmában nyert r golyót. B az első és második játszmában p golyót nyert, de ekkor q golyót először C kapott.
Az adatokból ki is lehet számítani, mennyi p, q és r értéke, bár ez a feladatnak nem kérdése. A a harmadik játszmában vagy p vagy q golyót nyert, ettől függően A és C golyóinak számára felírhatjuk, hogy
q+q+q=9r+r+p=20;(3a)q+q+p=9r+r+q=20.(3b)


Ezeket (2)-vel összevetve, (3a)-ból p=0, q=3, r=10 következik, ami 0<p miatt nem lehet. (3b)-ből p=1, q=4, r=8, és egyúttal azt is megkaptuk, hogy a feladatban leírt játéksorozat valóban létrejöhet:
   A      B      C     I. játék: 8 1 4  II. játék: 8 1 4  III. játék: 4 8 1  
 

  Bogdán Klára (Cegléd, Táncsics M. Ált. Isk., 8. o. t.)