Kezdőlap


Feladat:	1482. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Nagy Zsigmond
Füzet:	1967/május, 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat, Diofantikus egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 1482. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a keresett szám egymás utáni jegyei $X$ , $Y$ , $Z$ , a követelménynek megfelelő számrendszer alapszáma $B$ . Ekkor rendezéssel

\begin{matrix} 2 (100 X + 10 Y + Z) = X \cdot B^{2} + Y B + Z, \\ (200 - B^{2}) \cdot X + (20 - B) \cdot Y + Z = 0. & (1) \end{matrix}

B < 15

esetén nem teljesülhet nem‐negatív számjegyekkel. Nem állhat fönn

B > 15

esetén sem, mert így viszont egyrészt

\begin{matrix} (200 - B^{2}) X \leq (200 - 256) X \leq - 56, \end{matrix}

hiszen

X \geq 1

, másrészt

\begin{matrix} (20 - B) Y + Z < 5 \cdot 9 + 9 = 54, \end{matrix}

így pedig (1) bal oldala negatív lenne.
Ha

B = 15

, akkor (1) így alakul:

\begin{matrix} - 25 X + 5 Y + Z = 0, Z = 5 (5 X - Y), \end{matrix}

tehát

Z

értéke 0 vagy 5. Az első esetben

5 X - Y = 0

5 X = Y < 10

, tehát

X = 1

Y = 5

. A második esetben

5 X - Y = 1

, innen viszont két megoldás adódik:

X = 1

Y = 4

és

X = 2

Y = 9

.
A kérdéses háromjegyű szám tehát csak a 150, a 145 és a 290 lehet. Ezeket 15-alapú számrendszerbeli számnak tekintve, valóban kétszer akkora számot jelentenek, mintha az alapszám 10.

Nagy Zsigmond (Budapest, Kaffka M. g. III. o. t.)