Kezdőlap


Feladat:	1139. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1962/május, 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1961/november: 1139. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $E A$ egyenes merőleges az $A B C D$ lapra, tehát annak minden egyenesére, így $B C$ -re is. A $B C$ egyenes így merőleges $A E$ -re, másrészt merőleges $A B$ -re is, az $A B E$ lap két nem párhuzamos egyenesére, tehát merőleges az $A B E$ lapra; ennélfogva $B C$ derékszöget zár be $B E$ -vel.

1. ábra

Az egyenlő hosszú

B C

és

A D

él hosszát

x

-szel jelölve az

A D E

egyenlő szárú derékszögű háromszögből

A E = x

, másrészt a

C

-nél

60^{\circ}

-os hegyes szöget tartalmazó

B C E

derékszögű háromszögből

B E = B C \sqrt[]{3} = x \sqrt[]{3}

. Így az

A B E

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} x^{2} + 16 = 3 x^{2}, x = \sqrt[]{8} \approx 2, 83 cm . \end{matrix}

Fauszt Irén (Budapest, Móricz Zs. g. III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Hasonlóan láthatjuk be, hogy a

C D E

háromszög

D

-nél derékszögű és ebből is számolhatunk. Erről a háromszögről az is kiderül, hogy szintén egyenlő szárú.
2. Számos versenyző bizonyítás nélkül használta fel, hogy a

C B E

szög (vagy

C D E

) derékszög. Némelyek a gúla hálózatának megrajzolásával gondolták igazoltnak a szükséges merőlegességeket. Ekkor természetesen az ábra helyes volta igazolandó (és igazolható: az

E

csúcs által leírt köríveknek az alapon levő vetülete a tengely gyanánt használt élre merőleges szakasz).

2. ábra