Kezdőlap


Feladat:	306. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóna Pál , Németh József
Füzet:	1956/április, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/november: 306. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes, hogy a feladatban szereplő három derékszögű háromszög egymáshoz hasonló, tehát (az átfogót $c$ -vel, a befogókat $a$ , $b$ -vel jelölve)

\begin{matrix} a : c = ϱ_{1} : ϱ, ahonnan ϱ_{1} = \frac{a ϱ}{c}, \\ b : c = ϱ_{2} : ϱ, ahonnan ϱ_{2} = \frac{b ϱ}{c}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} ϱ + ϱ_{1} + ϱ_{2} = ϱ + \frac{a ϱ}{c} + \frac{b ϱ}{c} = \frac{ϱ (a + b + c)}{c} . \end{matrix}

A jobb oldal számlálója a háromszög kétszeres területe, tehát írható helyébe pl.

c m_{c}

, ennélfogva

\begin{matrix} ϱ + ϱ_{1} + ϱ_{2} = \frac{c m_{c}}{c} = m_{c} . \end{matrix}

Németh József (Esztergom, Ferences g. II. o. t.)

II. megoldás: Az átfogónak a beírt kör érintési pontjáig terjedő két szeletét

d_{1}

és

d_{2}

-vel jelölve,

d_{1} = a - ϱ

d_{2} = b - ϱ

és

d_{2}

, mert egy pontból a körhöz húzott két érintőszakasz egyenlő (lásd az ábrát).

Tehát

\begin{matrix} a + b = c + 2 ϱ . \end{matrix}

(1)

Ezt az összefüggést a két kisebb háromszögre felírva, ha a magasság talppontja által az átfogón létesített szeleteket

c_{1}

c_{2}

-vel jelöljük,

\begin{matrix} m_{c} + c_{1} = a + 2 ϱ_{1}, & (2) \\ m_{c} + c_{2} = b + 2 ϱ_{2} . & (3) \end{matrix}

(1), (2) és (3) összege adja ‐ rendezés és

2

-vel való egyszerűsítés után ‐ a bizonyítandó állítást.

Bóna Pál (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.)