Kezdőlap


Feladat:	302. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kristóf László , Végh Judit
Füzet:	1956/április, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/november: 302. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $n$ számú 9-esből álló szám 1-gyel kisebb $10^{n}$ -nél, tehát

\begin{matrix} {(9_{}^{⌣_{}^{1}} 9_{}^{⌣_{}^{2}} ... 9_{}^{⌣_{}^{n}})}^{2} = {(10^{n} - 1)}^{2} = 10^{2 n} - 2 \cdot 10^{n} + 1 = 10^{n} (10^{n} - 2) + 1. \end{matrix}

10^{n}

áll egy 1-esből és utána

n

0-ból. Ebből 2-t levonva

(n - 1)

számú 9-esből, utána egy 8-asból álló számot kapunk. A

10^{n}

szorzó a 8-as után írandó

n

darab 0-t jelent; ehhez még 1-et kell adni, vagyis az utolsó 0 helyett 1-et írni. Így megkaptuk a bizonyítandó azonosságot.

Kristóf László (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. II. o. t.)

II. megoldás: Alkalmazzuk az

\begin{matrix} a^{2} = (a - 1) (a + 1) + 1 \end{matrix}

azonosságot.

\begin{matrix} {(9_{}^{⌣_{}^{1}} 9_{}^{⌣_{}^{2}} ... 9_{}^{⌣_{}^{n}})}^{2} = (9_{}^{⌣_{}^{1}} 9_{}^{⌣_{}^{2}} ... 9_{}^{⌣_{}^{n}} - 1) (9_{}^{⌣_{}^{1}} 9_{}^{⌣_{}^{2}} ... 9_{}^{⌣_{}^{n}} + 1) + 1 = 9_{}^{⌣_{}^{1}} 9_{}^{⌣_{}^{2}} ... 9_{}^{⌣_{}^{n - 1}} 8 \cdot 10^{n} + 1 = \\ = 9_{}^{⌣_{}^{1}} 9_{}^{⌣_{}^{2}} ... 9_{}^{⌣_{}^{n - 1}} 8 0_{}^{⌣_{}^{1}} 0_{}^{⌣_{}^{2}} ... 0_{}^{⌣_{}^{n}} + 1 = 9_{}^{⌣_{}^{1}} 9_{}^{⌣_{}^{2}} ... 9_{}^{⌣_{}^{n - 1}} 8 0_{}^{⌣_{}^{1}} 0_{}^{⌣_{}^{2}} ... 0_{}^{⌣_{}^{n - 1}} 1. \end{matrix}

Végh Judit (Szolnok, Varga Katalin lg. II. o. t.)