Kezdőlap


Feladat:	298. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kisbényi Mária , Stark Gusztáv
Füzet:	1956/április, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/október: 298. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak (1. ábra).

1. ábra

A követelmény értelmében

B C = A X - A Y - X Y

. Az

A B C Δ

-et vigyük át az

A

-ból mint hasonlósági középpontból egy vele hasonló

A B' C' Δ

-be, amelyben

X' = B

és

Y' = C

. Most a feltétel szerint

\begin{matrix} B' C' = A X' + A Y' - X' Y' = A B + A C - B C . \end{matrix}

Tehát nem kell egyebet tennünk, mint az adott oldalakból könnyen megszerkeszthető

B' C'

szakaszt

B C

-vel párhuzamosan az

α

szög szárai közé iktatni, és azután a

\begin{matrix} B' C' : B C = B C : X Y = A B : A X \end{matrix}

arány alapján megszerkeszteni az

A B

oldalegyenesen az

X

pontot. Legegyszerűbben a

C

-n át

B C'

-vel vont párhuzamos metszéspontja

A B

-vel szolgáltatja

X

-et.
Mindig van egy és csakis egy megoldás. Az

X Y

szakasza háromszög belsejébe esik, vagy azonos

B C

-vel, vagy a háromszögön kívül van aszerint, amint

B' C' = A B + A C - B C ⋛ B C

, vagyis

A B + A C ⋛ 2 B C

Stark Gusztáv (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)

II. megoldás: Ha a megoldásként nyert

A X Y

háromszögbe érintő kört rajzolunk, melynek érintési pontjai legyenek rendre

C_{1}

Z

B_{1}

(2. ábra), akkor a feladat követelménye szerint

\begin{matrix} B C = A X + A Y - X Y = X C_{1} + A C_{1} + Y B_{1} + A B_{1} - X Z - Y Z . \end{matrix}

X Z = X C_{1}

és

Y Z = Y B_{1}

, és így

\begin{matrix} A C_{1} + A B_{1} = B C = a, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A C_{1} = A B_{1} = \frac{a}{2} . \end{matrix}

2. ábra

A szerkesztés menete tehát:

O

középpontú kört szerkesztünk, amely az

A B

és

A C

oldalakat

A

-tól

\frac{a}{2}

távolságban fekvő (

C_{1}

illetőleg

B_{1}

) pontokban érinti. E körnek

B C

-vel párhuzamos érintői közül az, amelyik nem választja szét az

A

és

O

pontokat, szolgáltatja a keresett

X Y

szakaszt.

Kisbényi Mária (Bp. I., Szilágyi E. lg. II. o. t.)

Egy III. megoldás található Surányi János: ,,Hasonlóság és szerkesztés'' c. füzetében (58. feladat, 53. old.).