Kezdőlap


Feladat:	217. fizika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárkányi István , Bedeus György , Szilvay Gábor
Füzet:	1970/október, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áramforrások belső ellenállása, Egyéb ellenállás-kapcsolások, Egyéb Ohm-törvény, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/február: 217. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $U_{1}$ feszültségű és $R_{b 1}$ belső ellenállású áramforrásokból $s$ db áramforrást sorosan, majd ezekből $p$ számút párhuzamosan kapcsolunk, akkor az eredő feszültség $U = s U_{1}$ , az eredő belső ellenállás pedig $R_{b} = s R_{b 1} / p$ , mivel $s$ db sorosan kapcsolt $R_{b 1}$ ellenállás eredője $s R_{b 1}$ , $p$ db párhuzamosan kapcsolt ekkora ellenállás eredője ennek $p$ -edrésze, azaz $s R_{b 1} / p$ . Ezért az $R_{b}$ , belső és $R_{k}$ külső ellenálláson átfolyó áram erőssége:

\begin{matrix} I = \frac{U}{R_{b} + R_{k}} = \frac{s U_{1}}{s R_{b 1} / p + R_{k}} . \end{matrix}

Behelyettesítve a megadott mennyiségeket

(U_{1} = 2 V

R_{b 1} = 0, 3 Ω

R_{k} = 0, 4 Ω)

, az egyes esetekben az alábbiakat nyerjük:

\begin{matrix} a) & (s=6,p=2) & I=9,23A; \\ b) & (s=4,p=3) & I=10A; \\ c) & (s=3,p=4) & I=9,5A; \\ d) & (s=2,p=6) & I=8A. \end{matrix}

Eszerint a b) esetben a legnagyobb az áramerősség, s ekkor

\begin{matrix} R_{b} / R_{k} = \frac{4 \cdot 0, 3 Ω}{3} : 0, 4 Ω = 1. \end{matrix}

Szilvay Gábor (Esztergom, Dobó K. Ált. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Vizsgáljuk meg általánosan, ha adott

n

számú (

U_{1}

feszültségű,

R_{b 1}

belső ellenállású) áramforrásból

s

db-ot sorosan, majd ezekből

p

számút párhuzamosan kapcsolunk, mikor lesz adott

R_{k}

külső ellenállás esetében az áramerősség maximális. Alakítsuk át a fenti megoldás képletét az alábbi módon:

\begin{matrix} I = \frac{s U_{1}}{s R_{b 1} / p + R_{k}} = \frac{U_{1}}{R_{b 1} / p + R_{k} / s} . \end{matrix}

A kapott tört számlálója állandó, tehát a tört akkor lesz a legkisebb, ha a nevezője, a legnagyobb. A nevezőben egy kéttagú összeg áll, a tagok szorzata állandó:

\begin{matrix} \frac{R_{b 1}}{p} \cdot \frac{R_{k}}{s} = \frac{R_{b 1} \cdot R_{k}}{p \cdot s} = \frac{R_{b 1} \cdot R_{k}}{n} . \end{matrix}

Ezért a nevező akkor lesz minimális, amikor a nevezőben levő két tag egyenlő:

\begin{matrix} \frac{R_{b 1}}{p} = \frac{R_{k}}{s} azaz R_{b} = \frac{s R_{b 1}}{p} = R_{k} . \end{matrix}

(Természetesen ennek az egyenlőségnek általában nincsen pontos [egész

p

s

] megoldása.) Könnyen meggyőződhetünk egyébként arról, hogyha

x + y

pozitív számok szorzata állandó:

x y = a

, akkor

x + y

a legkisebb értéket

x = y (= \sqrt[]{a})

esetén veszi fel. Induljunk ki ugyanis az

\begin{matrix} {(x - y)}^{2} \geq 0 \end{matrix}

egyenlőtlenségből. Ebből az következik, hogy

\begin{matrix} x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0, \end{matrix}

az egyenlőtlenség mindkét oldalához 4

x y

-t adva kapjuk:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y + y^{2} \geq 4 x y, azaz \\ {(x + y)}^{2} \geq 4 x y = 4 a . \end{matrix}

Az egyenlőség jele itt csak akkor lehet érvényes, amikor kiindulásul vett egyenlőtlenségben egyenlőség áll fenn, vagyis

x = y

. Eszerint valóban

{(x + y)}^{2}

(tehát

x + y

is) akkor minimális, amikor;

x = y

;, ekkor ugyanis

x + y = 2 \sqrt[]{a}

, minden más esetben viszont

x + y > 2 \sqrt[]{a}

Bárkányi István (Jászberény, Erősáramú Szakközépiskola, I. o. t.) dolgozata alapján