Kezdőlap


Feladat:	80. fizika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai László , Vozáry Eszter
Füzet:	1965/szeptember, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csiga, Egyéb egyszerű gépek, Emelő, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 80. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $G$ terhet az egyoldalú emelőn kiegyensúlyozó erő

\begin{matrix} G = \frac{p}{p + q}, \end{matrix}

így a mozgócsiga kötelének végén

\begin{matrix} \frac{G}{2} = \frac{p}{p + q} \end{matrix}

erőnek kell hatnia.

Ezt az emelő másik végén

\begin{matrix} \frac{G}{2} \cdot \frac{p}{p + q} \cdot \frac{l_{2}}{l_{1}} \end{matrix}

függőleges irányú erő tudja egyensúlyban tartani. A hengerkerék kötelét tehát közelítőleg (a lejtő lapos)

\begin{matrix} \frac{G}{2} \cdot \frac{p}{p + q} \cdot \frac{l_{2}}{l_{1}} \cdot \frac{h}{a} \end{matrix}

nagyságú erővel kell húznunk, így a hengerkerék fogantyújára gyakorolt erő:

\begin{matrix} X \approx \frac{G}{2} \cdot \frac{p}{p + q} \cdot \frac{l_{2}}{l_{1}} \cdot \frac{h}{a} \cdot \frac{r}{R} . \end{matrix}

A számadatokkal

X \approx \frac{2000 kp}{2} \cdot \frac{20}{100} \cdot \frac{20}{80} \cdot 0, 2 \cdot \frac{5}{20} = 0, 25 kp

Az erőt pontosan a következőképpen lehet meghatározni. Mivel

\begin{matrix} X_{1} = G \cdot \frac{p}{p + q} és X_{2} = \frac{G}{2} \cdot \frac{p}{p + q}, \end{matrix}

ezért az emelő másik végén a lejtő a síkjára merőlegesen olyan erőt gyakorol, amelyre a forgatónyomatékok egyenlőségét felírva:

\begin{matrix} l_{1} X_{3} = \frac{a l_{2}}{\sqrt[]{a^{2} + h^{2}}} \cdot X_{2} \end{matrix}

(az

X_{2}

erő karját hasonló háromszögek felhasználásával számítottuk ki), tehát

\begin{matrix} X_{3} = \frac{G}{2} \cdot \frac{p}{p + q} \cdot \frac{l_{2}}{l_{1}} \cdot \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + h^{2}}} . \end{matrix}

Az emelő vége által a lejtőre kifejtett

X

erőt vízszintes és függőleges összetevőkre bontjuk: a függőleges komponens nyomja a

B

síkot, ennek ellenereje azt kiegyenlíti, a vízszintes komponenst kell tehát a hengerkerék kötelével legyőznünk. Erre az erőre tehát ismét a háromszögek hasonlóságából

\begin{matrix} X_{4} : X_{3} = h : \sqrt[]{a^{2} + h^{2}}, \\ X_{4} = X_{3} \cdot \frac{h}{\sqrt[]{a^{2} + h^{2}}} = \frac{G}{2} \cdot \frac{p}{p + q} \cdot \frac{l_{2}}{l_{1}} \cdot \frac{a h}{a^{2} + h^{2}} = \frac{G}{2} \cdot \frac{p}{p + q} \cdot \frac{l_{2}}{l_{1}} \cdot \frac{1}{a / h + h / a} . \end{matrix}

Végül kapjuk, hogy a hengerkerék fogantyújára

\begin{matrix} X = X_{4} \cdot \frac{r}{R} = \frac{G}{2} \cdot \frac{p}{p + q} \cdot \frac{l_{2}}{l_{1}} \cdot \frac{1}{a / h + h / a} \cdot \frac{r}{R} \approx 0, 240 kp \end{matrix}

erőt kell gyakorolnunk.

Egyszeri körülforgatáskor a lejtő

2 r π \approx 31, 4

cm darabon mozdul el, és így elcsúszik a

C

pont alatt, tehát a kétkarú emelő vízszintes helyzetbe kerül. Ekkor a mozgócsiga kötelének vége a hasonló háromszögekből kiszámítva

\begin{matrix} l_{2} \cdot \frac{h}{\sqrt[]{a^{2} + h^{2}}} hosszúsággal \end{matrix}

kerül lejjebb, a mozgócsiga terhe eközben

\begin{matrix} \frac{l_{2} h}{2 \sqrt[]{a^{2} + h^{2}}} szakasszal \end{matrix}

mozdul felfelé. Így a

G

teher emelkedése ismét hasonló háromszögek alapján

\begin{matrix} y = \frac{l_{2} h}{2 \sqrt[]{a^{2} + h^{2}}} \cdot \frac{p}{p + q} = \frac{l_{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{{(a / h)}^{2} + 1}} \cdot \frac{p}{p + q} = \\ = \frac{20 cm}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{5^{2} + 1}} \cdot \frac{20}{20 + 80} = \frac{2}{\sqrt[]{26}} cm \approx 0, 39 cm . \end{matrix}

Ezért az energiamegmaradás törvénye értelmében a végzett munka

\begin{matrix} L = G \cdot y = \frac{G}{2} \cdot l_{2} \frac{1}{\sqrt[]{{(a / h)}^{2} + 1}} \cdot \frac{p}{p + q} = \frac{400}{\sqrt[]{26}} kp \cdot cm = \\ = 4 / \sqrt[]{26} mkp \approx 0, 79 mkp . \end{matrix}

Babai László (Bp., Fazekas M. g. I. o. t.) és
Vozáry Eszter (Szeged, Ságvári E. gyak. g. I. o. t.)
dolgozata felhasználásával.