Kezdőlap


Feladat:	294. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sárközy András
Füzet:	1956/március, 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/október: 294. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a keresett egyjegyű számok $x$ és $y$ . Ekkor szorzatuk

\begin{matrix} x y = 10 a + b, \end{matrix}

(1)

e szorzat számjegyeinek összege egyenlő az egyik tényezővel.

\begin{matrix} x = a + b, \end{matrix}

(2)

ahol

a

és

b

egyjegyű nem negatív egész számok.
Vonjuk ki (1)-ből (2)-t, nyerjük, hogy

\begin{matrix} x y - x = 9 a, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = \frac{x (y - 1)}{9} . \end{matrix}

Tehát

x (y - 1)

-nek oszthatónak kell lennie 9-cel. Az

x = 9

esetet a feladat kizárja,

y - 1 = 9

esetén

y

már kétjegyű, azért

x

-nek és

(y - 1)

-nek külön-külön oszthatónak kell lennie 3-mal.
Tehát a megoldások:

\begin{matrix} x & = 3, & y - 1 & = 3, & y & = 4; & x & = 6, & y - 1 & = 3, & y = 4; \\ x & = 3, & y - 1 & = 6, & y & = 7; & x & = 6, & y - 1 & = 6, & y = 7, \end{matrix}

Így a keresett számpárok:

\begin{matrix} 3 \cdot 4 = 12, 6 \cdot 4 = 24, \\ 3 \cdot 7 = 21, 6 \cdot 7 = 42. \end{matrix}

Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g. II. o. t.)