Kezdőlap


Feladat:	293. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Simon László , Vékony Lajos
Füzet:	1956/március, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/október: 293. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Bármely természetes szám vagy osztható $3$ -mal, vagy szomszédja egy $3$ -mal osztható számnak, tehát vagy $3 k$ vagy $3 k \pm 1$ alakú, ahol $k$ természetes szám.
$3 k$ négyzete $9 k^{2} = 3 p, {(3 k \pm 1)}^{2} = 9 k \pm 6 k^{2} + 1 = 3 q + 1$ , tehát tényleg nincsen olyan természetes szám amelynek négyzete $3 n + 2$ alakú volna.

Vékony Lajos (Bp. XX., Kossuth g. II. o. t.)

II. megoldás: Tegyük fel, hogy

3 n + 2

teljes négyzet, vagyis

\begin{matrix} 3 n + 2 = a^{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

n

és

a

természetes számok.

a

nyilván nem lehet 3-mal osztható, de akkor

a + 1

és

a - 1

közül az egyik feltétlenül osztható 3-mal.
De (1) így írható:

\begin{matrix} 3 n + 1 = a^{2} - 1 = (a + 1) (a - 1) . \end{matrix}

Itt a jobboldal osztható hárommal, a baloldal pedig nem, vagyis az a feltevés, hogy

3 n + 2

teljes négyzet, ellentmondásra vezet.

Simon László (Bp. XI., József A. g. II. o. t.)