Kezdőlap


Feladat:	292. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szántó Péter
Füzet:	1956/március, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Körérintési szerkesztések, Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 292. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Figyelmen kívül hagyjuk azokat a triviális megoldásokat. amelyekben az egyik befogó maga egy közös belső érintő (vagyis ez a befogó mindkét kört érinti). Ezekről a feladatban nyilván nincs szó, mert ez esetben felesleges külön követelni, hogy ,,az egyik közös belső érintő átmegy a derékszög csúcspontján''.
Ábránk a megoldott feladatot és egyben a betűzést mutatja.

Nyilván elég a közös belső érintőkön a derékszögű háromszög

C

csúcspontját és ezen át azokat az egymásra merőleges egyeneseket meghatározni, amelyek mindegyike egy-egy kört érint. Mindegyik közös külső érintő e merőleges egyenespárok mindegyikével egy-egy megoldást szolgáltat.
Tekintsünk egy olyan

C_{1}

megoldást (a

t_{1}

közös belső érintőn), amelyikben

O_{1}

és

O_{2}

a két érintő által meghatározott

4

derékszögű tartomány egyikébe esik. Ez esetben

C_{1}

-ből az egyik kör

2 α

, a másik kör

2 β

, az

O_{1} O_{2}

szakasz pedig

α + β

szög alatt látszik. Mivel

2 α + 2 β = 90^{\circ}

, azért

α + β = 45^{\circ}

.
Tekintsünk egy

C'_{1}

megoldást (ugyancsak a

t_{1}

érintőn), amelyben az

O_{1}

és

O_{2}

pontok nem tesznek eleget az előbbi feltételeknek. Ez esetben az egyik kör

2 γ

, a másik kör

2 δ

, az

O_{1} O_{2}

szakasz pedig

γ + δ + ε

szög alatt látszik.

2 γ + ε = 180^{\circ}

2 δ + ε = 90^{\circ}

, vagyis

2 γ + 2 δ + 2 δ = 270^{\circ}

, azaz

γ + δ + ε = 135^{\circ}

.
Tehát a

C

pontok mértani helye az a teljes kör, amelynek pontjaiból az

O_{1} O_{2}

szakasz

45^{\circ}

, ill.

135^{\circ}

szög alatt látszik. E kör a

t_{1}

és

t_{2}

közös belső érintőkből

4

pontot (

C_{1}

C'_{1}

C_{2}

C'_{2}

) metsz ki. E

4

pont

4

merőleges érintőpárt határoz meg, amelyek mindegyike egy-egy közös külső érintővel egy-egy megoldást ad. Tehát összesen

8

(nagyságra, alakra és helyzetre különböző) derékszögű háromszög szerkeszthető, amelyek közül azonban lehet elfajuló is, amikor egy közös külső, érintő párhuzamos a befogók egyikével. (Ha az

O_{1} O_{2}

egyenesre vonatkozó tükörképeket is számítjuk, akkor összesen

16

megoldása van a feladatnak.)

Szántó Péter (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)

Teljes megoldás ezenkívül nincs.