| Feladat: | 284. matematika gyakorlat | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: átlagos |
| Megoldó(k): | Bácsy E. , Bayer Márta , Csizmadia F. , Danassy K. , Detrekői Á. , Frivaldszky S. , Guba I. , Hank Zs. , Heinemann Z. , Hoffmann Gy , Jókúty F. , Katona Marianna , Kengyel Vilma , Kozma T. , Németh J. , Pak To Ha , Parlagh Gy. , Péter J. , Pogány E. , Ruppenthal P. , Schipp F. , Szabadits Ö. , Szalay Zs. , Szatmáry Z. , Tokai J. , Tóth L. , Vámos A. | ||
| Füzet: | 1956/február, 56 - 57. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Beírt alakzatok, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1955/május: 284. matematika gyakorlat | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Képzeljük a feladatot megoldottnak. Az eredmény ‐ paralelogramma az átló metszéspontjára centrálisan szimmetrikus. Tükrözzük -n át az adott -et. A paralelogramma változatlan marad, mert a tükrözés önmagába viszi át; a tükörkép oldalai szükségképpen átmennek a paralelogramma csúcspontjain (1. ábra), mert az oldalai is átmennek ezeken ‐ a tükrözésben egymásnak megfelelő ‐ pontokon.  Tehát a paralelogramma keresett csúcspontjai csak azok a pontok lehetnek, amelyekben az eredeti és a tükörkép háromszög oldalai metszik egymást. Legfeljebb 6 ilyen metszéspont (1, 2, 3, 4, 5, 6) keletkezhet, ti. 3 tükörkép ‐ pontpár (1, 4; 2, 5; 3, 6), amelyek 3 lehetséges átlót jelölnek ki a keresett paralelogramma számára. E 3 átló közül háromféleképpen választhatunk ki két‐két átlót. Mindegyik átlópár más‐más ‐ a feladat feltételeinek megfelelő ‐ paralelogrammát határoz meg. A megoldások száma tehát 3 (1245; 3461; 5623), amíg az -nek és az -nek 6 metszéspontja van, azaz az eredeti háromszög bármely oldalának -re vonatkozó tükörképe metszi a másik két oldalt. Ehhez szükséges és elégséges, hogy minden egyes oldalra nézve távolsága az oldaltól kisebb az oldalhoz tartozó magasság felénél, vagyis a pont az középvonalai által meghatározott háromszög belsejében van. Ha egy középvonalon van (2. ábra), akkor két paralelogramma egybeesik (ábránkon ), és a harmadik (5623) egy szakasszá () fajul. Ez esetben tehát csak egy megoldás van.  Ha a középvonalak által meghatározott háromszögön kívül van (3. ábra), akkor csak két metszéspont (1, 4), vagyis egy átló (14) keletkezik.  Ez esetben tehát megoldás nincs.
|