Kezdőlap


Feladat:	282. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balthazár Zsolt , Detrekői Ákos
Füzet:	1956/február, 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Logaritmusos egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/május: 282. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $a$ , $b$ , $c$ alapú logaritmusokról térjünk át közös, pl. 10 alapú logaritmusokra.
Ismeretes, hogy ${log}_{}^{⌣_{}^{a}} N = \frac{lg N}{lg a}$ , tehát (1) így írható

\begin{matrix} \frac{lg a}{lg N} - \frac{2 lg b}{lg N} + \frac{lg c}{lg N} = 0. \end{matrix}

Ez az egyenlőség akkor és csak akkor helyes, ha

\begin{matrix} lg a + lg c = 2 lg b, \end{matrix}

ez viszont az

a c = b^{2}

teltétel miatt igaz.

Balthazár Zsolt (Pannonhalma, Bencés g. I. o. t.)

II. megoldás. Ha az (1)-ben előforduló nevezőket rendre

x

y

z

-vel jelöljük, akkor

\begin{matrix} a^{x} = N, b^{y} = N és c^{z} = N, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a = N^{\frac{1}{x}}, b = N^{\frac{1}{y}}, c = N^{\frac{1}{z}} . \end{matrix}

A feltétel szerint

\begin{matrix} b^{2} = a c, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} N^{\frac{2}{y}} = N^{\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \end{matrix}

Ebből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}, \end{matrix}

de ez éppen a bizonyítandó (1) egyenlőség.

Detrekői Ákos (Szolnok, Verseghy g. I. o. t.)