Kezdőlap


Feladat:	281. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Gyöngyi , Frivaldszky S. , Gergő Éva , Klopfer S. , Makkai M. , Molnár J. , Rockenbauer A.
Füzet:	1956/február, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Logaritmusos egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/május: 281. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $lg 10 = 1$ , és az $y = lg x$ függvény az értelmezési tartományában minden értéket csak egyszer vesz fel, azért a megoldandó egyenlet egyenértékű a

\begin{matrix} 3^{x^{\sqrt[]{x}} - {(\sqrt[]{x})}^{x} + 2} + 1 = 10 \end{matrix}

egyenlettel, amelyből rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3^{x^{\sqrt[]{x}} - {(\sqrt[]{x})}^{x} + 2} = 9 = 3^{2} . \end{matrix}

(1)

Mivel (1)-ben az alapok egyenlők, azért kell hogy a kitevők is egyenlők legyenek, vagyis

\begin{matrix} x^{\sqrt[]{x}} - {(\sqrt[]{x})}^{x} + 2 = 2, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x^{\sqrt[]{x}} = {(\sqrt[]{x})}^{x} = x^{\frac{x}{2}} . \end{matrix}

(2)

A (2)-ben az

x = 0

értéket ki kell zárni, mert

≫ 0^{\circ} ≪

nincs értelmezve. A (2) mindkét oldalát logaritmálva:

\begin{matrix} \sqrt[]{x} lg x = \frac{x}{2} lg x . \end{matrix}

Innen rendezés és kiemelés után

\begin{matrix} (lg x) (\frac{x}{2} - \sqrt[]{x}) = 0. \end{matrix}

Egy szorzat azonban csak akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla, tehát vagy

\begin{matrix} lg x = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1} = 1, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{x}{2} - \sqrt[]{x} = 0, \end{matrix}

ahonnan

\sqrt[]{x} \neq 0

-val osztva (ezt megtehetjük, mivel az

x = 0

értéket kizártuk)

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{x}}{2} = 1, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{2} = 4. \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy a nyert két gyök egyenletünket kielégíti.

Bartha Gyöngyi (Bp. VIII, Apáczai Csere g. II. o.)