Feladat: 280. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Argay Gy. ,  Bácsy E. ,  Bayer Mária ,  Danassy K. ,  Frivaldszky S. ,  Galambos J. ,  Janky B. ,  Makkai M. ,  Parlagh Gy. ,  Pásztor Katalin ,  Rockenbauer A. ,  Rosta Szabó L. ,  Ruppenthal P. ,  Siklósi K. ,  Soós T. ,  Stahl János ,  Szatmáry Z. ,  Szilárd A. 
Füzet: 1956/február, 51 - 52. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/május: 280. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Írjuk egyenletünket az

x2-11x+24=2x(1)
alakban. Vegyük észre, hogy ha mindkét oldalhoz (x+1)-et adunk, akkor mindkét oldalon teljes négyzetet kapunk:
x2-10x+25=x+2x+1,
vagyis
(x-5)2=(x+1)2.

Ebből következik ‐ a négyzetgyök kétértelműségét figyelembe véve ‐, hogy vagy
x-5=x+1,(2)
vagy
x-5=-(x+1)=-x-1.(3)

Mindkét egyenletben x helyébe y-t írva
y2-y-6=0,(4)y2+y-4=0.(5)
(4)-ből
y1=3,y2=-2;x1=9,(x2=4).

Az adott (1) egyenletbe való behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy csak az x1=9 érték elégíti ki egyenletünket.
(5)-ből
y3=-1+172,y4=-1-172;x3=9-172,[x4=9+172]

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy csak x3 gyöke az adott (1) egyenletnek.
 

Bayer Márta (Bp. XX., Bagi Ilona lg. I. o. t.)
 

II. megoldás: Az adott egyenlet közvetlenül algebrai egyenletre vezethető vissza a x=v helyettesítéssel. Ekkor x=v2 és x2=v4, és egyenletünk a következő alakot ölti
v4-11v2-2v+24=0.(6)
Mivel egyenletünk legmagasabb fokú tagjának együtthatója 1, azért ismert tétel alapján egyenletünk racionális gyökei csak az állandó tag ‐ jelenleg 24 ‐ osztói lehetnek. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy 24 osztói közül v1=-2 és v2=3 kielégítik a (3) alatti egyenletet.
A két gyöktényező szorzata
(v+2)(v-3)=v2-v-6.
Ezzel osztva (6) bal oldalát, nyerjük a másik két gyököt szolgáltató
v2+v-4=0
egyenletet, amely egyezik az I. megoldás (5) egyenletével.

x=v2 alapján nyerjük
[x1=v12=4],x2=v22=9,x3=v32=9-172,[x4=v42=9+172].

Behelyettesítéssel meggyőződhettünk, hogy csak az x2 és x3 gyökök tesznek eleget az eredeti (1) alatti egyenletnek.
 

Stahl János (Bp. VI., Kölcsey g. II. o. t.)