Kezdőlap


Feladat:	279. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bácsy E. , Bartha Gyöngyi , Bartók Károly , Frivaldszky S. , Heinemann Z. , Hoffmann Gy , Jókúti F. , Kengyel Vlma , Király E. , Klopfer S. , Makkai M. , Németh József (Esztergom) , Pak To Ha , Papp K. , Parlagh Gy. , Pogány E. , Rétey Piroska , Rockenbauer A. , Siklósi K. , Stahl J. , Szatmáry Z. , Szilárd A. , Veszely Gy.
Füzet:	1956/február, 49 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Paraméteres egyenletek, Másodfokú függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/május: 279. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy az $y = a x^{2} + b x + c$ másodfokú függvénynek minimuma van az $x = - \frac{b}{2 a}$ helyen, feltéve hogy $a > 0$ .
A szélsőérték helye jelen esetben

\begin{matrix} x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{1}{8}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a = 4 b, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2^{3 u - 5 v - 3} - 1 = 4 (2^{7 u - 8 v - 18} - 2^{4 u - 3 v - 15}) . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} 2^{3 u - 5 v - 3} - 1 = 2^{7 u - 8 v - 16} - 2^{4 u - 3 v - 13} = 2^{4 u - 3 v - 13} (2^{3 u - 5 v - 3} - 1), \end{matrix}

vagy 0-ra redukálva az egyenletet

\begin{matrix} (2^{3 u - 5 v - 3} - 1) (2^{4 u - 3 v - 13} - 1) = 0. \end{matrix}

Ebből következik, hogy a bal oldal valamelyik tényezője maga is nulla. Azonban az első tényező nem lehet nulla, mert az

y = f (x)

függvényben ez a másodfokú tag együtthatója.
Tehát kell, hogy

\begin{matrix} 2^{4 u - 3 v - 13} - 1 = 0, \end{matrix}

és ebből (mivel 2-nek csakis nulladik hatványa 1)

\begin{matrix} 4 u - 3 v - 13 = 0. \end{matrix}

E diofantoszi egyenlet megoldása

\begin{matrix} v = u - 4 + \frac{u - 1}{3} = u - 4 + z, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} z = \frac{u - 1}{3}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} u = 3 z + 1, és & (1) \\ v = 4 z - 3 & (2) \end{matrix}

(Mivel

u

és

v

pozitív egész paraméterek

\begin{matrix} u = 3 z + 1 > 0, & (3) \\ v = 4 z - 3 > 0 & (4) \\ (3) -ból z > - \frac{1}{3}, (4) -ből z > \frac{3}{4}; \end{matrix}

ez utóbbi magában foglalja az előbbit.
Másrészt mivel a feltétel szerint minimumról van szó, azért a másodfokú tag együtthatója feltétlenül pozitív, vagyis

\begin{matrix} 2^{3 u - 5 v - 3} - 1 > 0, \end{matrix}

ami csak akkor állhat, ha

\begin{matrix} 3 u - 5 v - 3 > 0, \end{matrix}

u

és

v

értékeit (1) és (2)-ből behelyettesítve nyerjük, hogy

\begin{matrix} 9 z + 3 - 20 z + 15 - 3 > 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} z < \frac{15}{11} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} \frac{3}{4} < z < \frac{15}{11}, \end{matrix}

vagyis

z

értéke csak 1 lehet, és így

\begin{matrix} u = 3 z + 1 = 4, v = 4 z - 3 = 1. \end{matrix}

u

és

v

ezen értékeit

y = f (x)

-be helyettesítve:

\begin{matrix} y = f (x) = 15 x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{11 t^{2} - 20}{154 - 10 t^{2}} . \end{matrix}

Hogy az

x = - \frac{1}{8}

helyen pozitív minimum legyen, kell hogy

\begin{matrix} f (- \frac{1}{8}) = - \frac{15}{64} + \frac{11 t^{2} - 20}{154 - 10 t^{2}} > 0, \end{matrix}

amiből a közös nevezőre hozás után

\begin{matrix} \frac{854 t^{2} - 3590}{64 (154 - 10 t^{2})} > 0. \end{matrix}

Mivel egy tört akkor pozitív, ha a számláló és nevező megegyező előjelű, tehát az egyik lehetőség

\begin{matrix} 854 t^{2} - 3590 > 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} t^{2} > \frac{3590}{854} > 4. \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} 154 - 10 t^{2} > 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} t^{2} < \frac{154}{10} < 16, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 4 < t^{2} < 16. \end{matrix}

A másik lehetőség ‐ hogy a számláló és nevező egyidejűleg negatív ‐ ellentmondásra vezet, az egyetlen pozitív egész

t

érték 3.

u = 4

v = 1

és

t = 3

esetén

\begin{matrix} y = f (x) = 15 x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{79}{64} . \end{matrix}

Bartók Károly (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.)