Kezdőlap


Feladat:	277. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beliczky Tibor
Füzet:	1956/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/május: 277. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletrendszerünk így is írható:

\begin{matrix} \begin{matrix} 15 x & - & 8 x y & + & 2 y & = & 0, \\ 5 x & + & 3 x z & - & 2 z & = & 0, \\ 8 y & - & y z & - & z & = & 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ebben az alakban nyilvánvaló, hogy

\begin{matrix} x_{1} = y_{1} = z_{1} = 0 \end{matrix}

egyenletrendszerünk egy triviális megoldása, és az is nyilvánvaló, hogy ha bármelyik ismeretlen 0, abból már következik, hogy a másik kettő is szükségképpen 0. Tehát ezen triviális megoldáson kívül már csak olyan gyökhármas elégítheti ki egyenletrendszerünket, amelyben egyik gyök sem 0.
Tehát ‐ a fenti triviális értékeket kizárva ‐ oszthatjuk egyenleteinket rendre

x y

x z

y z

-vel. Nyerjük, hogy

\begin{matrix} \frac{15}{y} + \frac{2}{x} & = 8, & (1) \\ \frac{5}{z} - \frac{2}{x} & = - 3, & (2) \\ \frac{8}{z} - \frac{1}{y} & = 1. & (3) \end{matrix}

(1) és (2) összegét 5-tel egyszerűsítve

\begin{matrix} \frac{3}{y} + \frac{1}{z} = 1 \end{matrix}

(4)

(3) 3-szorosát (4)-hez adva

\begin{matrix} \frac{25}{z} = 4, amiből z_{2} = \frac{25}{4}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} y_{2} = \frac{25}{7}, x_{2} = \frac{10}{19} . \end{matrix}

Mivel csupa egyenértékű átalakítást végeztünk, a nyert gyökök szükségképpen kielégítik egyenletrendszerünket.

Beliczky Tibor (Celldömölk, Gábor Áron g. II. o. t.)