Feladat: 274. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Stahl János 
Füzet: 1956/január, 20 - 22. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Háromszögek szerkesztése, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/április: 274. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Szerkesszük meg az adott A'B'C'▵ köré írható kör középpontját K'-t (1. ábra).

 
 
1. ábra
 
Jelöljük a K'A'C'∢-et α1-gyel, a K'A'B'∢-et α2-vel. (Tehát vagy α1+α2=α, vagy |α1-α2|=α, ahol α az adott háromszög A'-nél fekvő szöge.)
A szerkesztendő háromszög A csúcsából
(1)a helyzetre és nagyságra adott PK szakasz (2. ábra) α1, ill. 180∘-α1 szög alatt látszik aszerint, hogy hol helyezkedik el a P pont az AC oldalon;
(2)a helyzetre és nagyságra megadott QK szakasz α2, ill. 180∘-α2 szög alatt,
(3)az ugyancsak helyzetre és nagyságra megadott PQ szakasz pedig α1+α2, ill. 180∘-(α1+α2) vagy |α1-α2|, ill. 180∘-|α1-α2| szög alatt látszik.

Az (1) és (2) feltételeket kielégítő pontok mértani helye a p1 és p2, ill. q1 és q2 teljes látószögkörök (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

E négy körnek (P, K, Q-n kívül még) négy közös pontja van, amelyek közül azonban csak azok megoldások, amelyek a (3) alatti feltétel által meghatározott k1 és k2 teljes körökből álló mértani helyen is rajta vannak. (Jelen esetben az α1+α2, ill. 180-(α1+α2) látószögek jönnek tekintetbe.) Általában egyetlen k kör sem mehet át a p és q köröknek egynél több metszéspontján, mert különben a P-n és Q-n átmenő k kör két pontjából a PK szakasz α1, és QK szakasz pedig α2 szög alatt látszik, ami csak úgy lehet, hogy K rajta van az illető k körön, vagyis az egyik k kör azonos a PKQ körrel, és egyszersmind ezzel azonos egy-egy p, ill. q kör is. Ez esetben a feladatnak végtelen sok megoldása van. Ez akkor jön létre, amikor PKQ∢=α, vagy 180∘-α. Egy további megoldást ez esetben a nem speciális k, p, q körök közös metszéspontja szolgáltat.
E kivételes esettől eltekintve két megoldást kapunk: A1-et és A2-t (2. ábra), amint az egyébként az alábbi II, megoldásból is kitűnik. A jobb áttekintés végett a 3. ábrában az adott K, P, Q pontokhoz átmásoltuk a 2. ábrában megszerkesztett A1 és A2 pontokat.
 
 
3. ábra
 

A KA1, ill. KA2 sugárral rajzolt körök metszik ki az A1Q és A1P, ill. A2Q és A2P egyenesekből a B1 és C1, ill. B2 és C2 pontokat.
 

II. megoldás: A feladatot a következőképpen fogalmazzuk át: Szerkesszünk egy adott A'B'C'▵-höz egy olyan K'P'Q'▵-et, amely hasonló az adott KPQ▵-höz (5. ábra), P' az A'C' oldalon, Q' az A'B' oldalon van, K' pedig az A'B'C'▵ köré írt kör középpontja.
 
 
4. ábra
 

Mindenekelőtt megszerkesztjük a K' pontot (4. ábra). Az A'C' oldalon felveszünk egy tetszőleges P'x pontot. K'P'x fölé egy a KPQ▵-höz hasonló K'P'xQ'x▵-et szerkeszteni nem más, mint a K'P'x szakaszt a PKQ∢=ω szöggel K' körül elforgatni és KQKP arányban zsugorítani (vagy nyújtani). Így nyerjük a Q'x pontot. Ha P'x az A'C' egyenesen mozog, akkor a forgatva-nyújtás által nyert Q'x pont mint ismeretes ‐ szintén egyenest ír le, mégpedig az A'C egyenesnek ugyanilyen forgatás és nyújtás által nyert transzformált egyenesét. Ez utóbbi egyenes metszi az A'B' oldalt a Q' pontban (4. ábra). A K'Q' szakaszt ω szöggel visszaforgatva és KPKQ arányban megnyújtva nyerjük az A'C' oldalon a P' pontot.
 
 
5. ábra
 

A K'P'A'∢=δ és K'Q'A'=ε szögek átmásolásával kapjuk meg az 5. ábrában az A pontot. A K pont köré KA sugárral rajzolt kör metszi ki az AQ és AP egyenesekből a B, ill. C pontot.
Mivel az ω szöggel való elforgatás két irányban történhetik, azért feladatunknak 2 megoldása van.
Ha ω=180∘-α és K' az α szög szárai között van, vagy ω=α és K nincs az α szárai között, akkor az egyik irányú forgatás esetén Q' a végtelenbe kerül és a megoldások száma végtelen sok, az ellenkező értelmű forgatva-nyújtás még egy további megoldást eredményez.
 

Stahl János (Bp. VI., Kölcsey g. II. o. t.)