Kezdőlap


Feladat:	273. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Gyöngyi , Dormány Mihály , Gáti Gyula , Opitz Klára
Füzet:	1956/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Köréírt alakzatok, Négyszögek szerkesztése, Pont körüli forgatás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/április: 273. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A $b$ oldalú négyzet csúcsai nyilván rajta vannak az $a$ oldalak mint átmérők fölé rajzolt Thales-körökön. A centrális szimmetria miatt az adott és a keresett négyzet középpontja közös, ezért az adott négyzet középpontja köré $\frac{b}{2} \sqrt[]{2}$ sugárral rajzolt kör metszi ki az említett Thaleskörökből a keresett négyzet csúcspontjait (1. ábra).

1. ábra

A megoldások száma 2, 1, 0 aszerint, amint az

a

-nál nagyobb

\begin{matrix} b ⋚ a \sqrt[]{2} (vagyis \frac{a}{2} \sqrt[]{2} < \frac{b}{2} \sqrt[]{2} ⋚ a) . \end{matrix}

Bartha Gyöngyi (Bp. VII., Apáczai Csere g. II. o. t.)

II. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést a 2. ábra mutatja.

2. ábra

A

pontnak az eredménynégyzet szemközti

P S

oldalára való vetületét

A_{1}

-gyel jelölve, az

A C A_{1}

háromszög derékszögű átfogója

A C

, és egyik befogója

A A_{1} = b

.
Az utóbbi két adatból

A_{1}

egyszerűen megszerkeszthető. Az

A_{1} C

egyenesen lesz a keresett négyzet egyik oldala, másik két oldala az

A A_{1}

szakasznak önmagával párhuzamos eltolása az

A_{1} C

, ill.

C A_{1}

irányban a

B

, ill.

D

pontig. A második megoldáshoz jutunk, ha az

A_{1}

pontnak

A C

-re vonatkozó

A_{2}

tükörképét szerkesztjük meg. Könnyen belátható, hogy megoldás csak akkor van, ha

a < b < A C = a \sqrt[]{2}

Gáti Gyula (Debrecen, Vegyip. t. II. o. t.)

III. megoldás: Mivel az adott és a keresett négyzet középpontja közös, a keresett négyzetbe írható

\frac{b}{2}

sugarú kör minden további nélkül, az adott négyzet

O

középpontja körül, megrajzolható. Az adott négyzet csúcspontjaiból, e körhöz szerkesztett 8 érintő szolgáltat két négyszöget, amelyeknek bármelyike

O

körül

90^{\circ}

-kal elforgatva önmagába megy át, tehát négyzet.

3. ábra

(A 3. ábrán csak egy megoldást tüntettünk fel.) A megoldhatóság feltétele, hogy

\frac{a}{2} < \frac{b}{2} \leq \frac{a}{2} \sqrt[]{2}

. Egyenlőség esetén a két négyzet egybeesik.

Dormány Mihály (Kecskemét, Katona J. g. II. o. t.)

IV. megoldás: Feladatunk így is fogalmazható: Szerkesszünk az

a

oldal, mint átfogó, fölé derékszögű háromszöget, amelyben a két befogó összege

b

. Ez a feladat az I. osztályos tananyagból jól ismert. A megoldhatóság feltétele itt is:

\frac{b}{2} \sqrt[]{2} < a < b

Opitz Klára (Bp. Vlll., Kandó K. gépip. t. I. o. t.)