Kezdőlap


Feladat:	272. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/január, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Körülírt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/április: 272. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nem megy az általánosság rovására, ha feltételezzük, hogy $α > β$ . Messe a $C K$ egyenes az $A B$ oldalt $D$ -ben, a körülírt kört másodszor $E$ -ben és jelöljük a keresett szöget $δ$ -val.
A $D$ pont helyzetét tekintve általában háromféle esetet kell megkülönböztetni:
(1) $α < 90^{\circ}$ : $D$ az $A B$ szakasz belső pontja (1. ábra ‐ Vö. az a) és b) határesetekkel);
(2) $α > 90^{\circ}$ , de $α - β < 90^{\circ}$ : $D$ az $A B$ szakasz $B$ -n túli meghosszabbításán van (Vö. a c) határesettel);
(3) $α > 90^{\circ}$ és $α - β > 90^{\circ}$ : $D$ az $A B$ szakasz $A$ -n túli meghosszabbításán van (2. ábra ‐ Vö. d) határesettel).
Az (1) esetet tekintve a $δ$ hegyesszög ( $α > β$ miatt) az $A D C_{▵}$ -nek $D$ -nél fekvő szöge (1. ábra).

1. ábra

C A E

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} A E C ∢ = β, \end{matrix}

mint a közös

\hat{A C}

íven nyugvó kerületi szögek, és így mint pótlószög

\begin{matrix} A C E ∢ \equiv A C D ∢ = 90^{\circ} - β . \end{matrix}

A D C_{▵}

-ből tehát

\begin{matrix} δ = 180^{\circ} - α - (90^{\circ} - β) = 90^{\circ} - α + β = \\ = 90^{\circ} - (α - β) . \end{matrix}

Pontosan ugyanilyen úton, ugyanerre az eredményre jutunk a (2) esetben is.

2. ábra

A (3) esetben ‐ midőn

α - β > 90^{\circ}

‐ az

A D C_{▵}

-bő1 (2. ábra)

\begin{matrix} δ = 180^{\circ} - (180^{\circ} - α) - [180^{\circ} - (90^{\circ} - β)] = \\ = α - 180^{\circ} + 90^{\circ} - β = (α - β) - 90^{\circ} . \end{matrix}

Tehát általános érvénnyel állíthatjuk, hogy

α > β

esetén

\begin{matrix} δ = | 90^{\circ} - (α - β) | . \end{matrix}

Határ-esetek:
a)

α = β, δ = 90^{\circ}

(

C K

az egyenlő szárú háromszög szimmetria tengelye);
b)

γ = 90^{\circ}

(vagyis

A B

átmérő) esetén

α = 90^{\circ} - β

, és így

δ = 2 β

;
c)

α = 90^{\circ}

δ = β

(C K \equiv C B, D \equiv B)

;
d)

α - β = 90^{\circ}

δ = 0

(C K ∥ A B)

Megjegyzés: A megoldók ‐ csaknem kivétel nélkül ‐ kizárólag az (1) esettel foglalkoztak.