Kezdőlap


Feladat:	311. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Péch Antal
Füzet:	1956/május, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/december: 311. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kifejezésünknek csak úgy van értelme, ha

\begin{matrix} x + y \neq 0, z - x \neq 0, z - y \neq 0. \end{matrix}

(1)

Kifejezésünk így is írható:

\begin{matrix} \frac{{(x + y)}^{3} - 3 {(x + y)}^{2} z + 3 (x + y) z^{2} - z^{3}}{(x + y) (z - x) (z - y)} = \\ = \frac{x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y) - 3 {(x + y)}^{2} z + 3 (x + y) z^{2} - z^{3}}{(x + y) (z - x) (z - y)} . \end{matrix}

Mivel a feltétel szerint

x^{3} + y^{3} - z^{3} = 0

, azért törtünk:

\begin{matrix} \frac{3 x y (x + y) - 3 {(x + y)}^{2} z + 3 (x + y) z^{2}}{(x + y) (z - x) (z - y)} = \frac{3 (x + y) (x y - x z - y z + z^{2})}{(x + y) (z - x) (z - y)} = \\ = \frac{3 (x + y) (z - x (z - y)}{(x + y) (z - x) (z - y)} . \end{matrix}

Tehát az (1) alatti feltételek figyelembevételével

\begin{matrix} \frac{{(x + y - z)}^{3}}{(z + y) (z - x) (x - y)} = 3 \end{matrix}

z^{3} = x^{3} + y^{3}

Péch Antal (Bp., VIII., Piarista g. II. o. t.)