Kezdőlap


Feladat:	714. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Argay Gyula , Pogány Eörs
Füzet:	1956/május, 141 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Térfogat, Gömb és részei, Egyenes körkúpok, Úszás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/november: 714. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: a) Archimedes ismeretes törvénye alapján, a gömbcikk súlya megegyezik a vízbe merülő térfogatrész (jelen esetben a forgáskúp) által kiszorított víz súlyával. Ha a gömbcikk köbtartalmát $K$ -val, a forgáskúp köbtartalmát $K'$ -vel jelöljük, akkor (mivel a víz fajsúlya 1)

\begin{matrix} K \cdot s = K' \cdot 1. \end{matrix}

(1)

Ábránk a gömbcikk tengelymetszetét és egyben a betűzést mutatja.

Eszerint

\begin{matrix} K = \frac{2 r^{2} π (r - m)}{3}, K' = \frac{ϱ^{2} π m}{3} . \end{matrix}

Ezen értékeket (1)-be helyettesítve és

\frac{π}{3}

-dal egyszerűsítve

\begin{matrix} 2 r^{2} (r - m) s = ϱ^{2} m . \end{matrix}

(2)

Ha az itt szereplő

ϱ

és

m

mértékszámokat

r

-rel, és a forgáskúp

x

félnyílásával fejezzük ki:

\begin{matrix} ϱ = r sin x, m = r cos x, \end{matrix}

és így

r - m = r (1 - cos x)

, akkor nyerjük, hogy

\begin{matrix} 2 s r^{3} (1 - cos x) = r^{3} sin^{2} x cos x . \end{matrix}

sin^{2} x

helyébe

1 - cos^{2} x = (1 - cos x) (1 + cos x)

-et írva és mindkét oldalt

r^{3} (1 - cos x)

-szel egyszerűsítve

(0 < x < \frac{π}{2} miatt 1 - cos x \neq 0)

\begin{matrix} 2 s = cos x + cos^{2} x, vagyis cos^{2} x + cos x - 2 s = 0. \end{matrix}

Mivel

0 < x < \frac{π}{2}

, azért csak a pozitív gyöknek van értelme. Tehát

\begin{matrix} cos x = \frac{- 1 + \sqrt[]{1 + 8 s}}{2} . \end{matrix}

b) A feladat megoldható, ha

\begin{matrix} 0 < \frac{\sqrt[]{1 + 8 s} - 1}{2} < 1, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 1 < \sqrt[]{1 + 8 s} < 3, azaz 0 < s < 1, \end{matrix}

vagyis a megoldhatóság feltétele megegyezik a fizikából ismert általános úszási feltétellel.
c)

s = 0, 75

esetén

\begin{matrix} cos x = \frac{\sqrt[]{7} - 1}{2} \approx 0, 8229, és így x = 34^{\circ} 37' . \end{matrix}

Argay Gyula (Balassagyarmat, Balassi B. g. III. o. t.)

II. megoldás: Pythagoras tétele alapján

\begin{matrix} ϱ^{2} = r^{2} - m^{2} . \end{matrix}

Ezen értéket (2)-be helyettesítve és

(r - m)

-mel egyszerűsítve

\begin{matrix} 2 r^{2} s = (r + m) m, \end{matrix}

m

szerint rendezve a következő másodfokú egyenlet adódik

\begin{matrix} m^{2} + r m - 2 r^{2} s = 0. \end{matrix}

Ennek pozitív gyöke

\begin{matrix} m = \frac{\sqrt[]{1 + 8 s} - 1}{2} r . \end{matrix}

A megoldhatóság feltétele most

\begin{matrix} 0 < \frac{\sqrt[]{1 + 8 s} - 1}{2} r < r, \end{matrix}

amiből ugyancsak a

0 < s < 1

feltételt kapjuk.
A kúp félnyílására

\begin{matrix} cos x = \frac{m}{r} = \frac{\sqrt[]{1 + 2 s} - 1}{2} . \end{matrix}

adódik, mint az I. megoldásban.

Pogány Eörs (Bp., V., Eötvös J. g. III. o. t.)