Kezdőlap


Feladat:	713. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Trembeczki István
Füzet:	1956/május, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Tengely körüli forgatás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/november: 713. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszöget az $a$ , $b$ és $c$ oldala körül forgatva kettős forgáskúpok keletkeznek; jelöljük köbtartalmukat rendre $K_{a}$ , $K_{b}$ $K_{c}$ -vel, felszínüket $F_{a}$ , $F_{b}$ , $F_{c}$ -vel.
$K_{a}$ két kúp köbtartalmának összege, $K_{b}$ és $K_{c}$ két kúp köbtartalmának különbsége, $F_{a}$ , $F_{b}$ és $F_{c}$ egyenként két-két kúppalást felszínének összege (lásd az ábrát).

Tehát

\begin{matrix} K_{a} = \frac{m_{a}^{2} π (a - a_{1})}{3} + \frac{m_{a}^{2} π a_{1}}{3} = \frac{m_{a}^{2} π a}{3}, \\ K_{b} = \frac{m_{b}^{2} π (b + b_{1})}{3} - \frac{m_{b}^{2} π b_{1}}{3} = \frac{m_{b}^{2} π b}{3}, \\ K_{c} = \frac{m_{c}^{2} π (c + c_{1})}{3} - \frac{m_{c}^{2} π c_{1}}{3} = \frac{m_{c}^{2} π c}{3}, \\ F_{a} = m_{a} π b + m_{a} π c = m_{a} π (b + c), \\ F_{b} = m_{b} π a + m_{b} π c = m_{b} π (a + c), \\ F_{c} = m_{c} π a + m_{c} π b = m_{c} π (a + b) . \end{matrix}

Felhasználva még azt, hogy

m_{a} : m_{b} : m_{c} = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}

(ez igazolható a kétszeres terület háromféle kifejezéséből:

a m_{a} = b m_{b} = c m_{c}

; lásd múlt számunkban a 299. sz. gyakorlat megoldását a 117. oldalon) nyerjük, hogy

\begin{matrix} K_{1} : K_{2} : K_{3} = \frac{1}{a^{2}} \cdot a : \frac{1}{b^{2}} \cdot b : \frac{1}{c^{2}} \cdot c = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} . \\ F_{a} : F_{b} : F_{c} = \frac{b + c}{a} : \frac{a + c}{b} : \frac{a + b}{c} \end{matrix}

Trembeczki István (Sárospatak, Rákóczi g. IV. o. t.)