Feladat: 710. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Papp Éva 
Füzet: 1956/május, 135 - 136. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/november: 710. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük kifejezésünket N-nel.
Mivel 1955=5⋅17⋅23, és ezek különböző prímszámok, azért elég e 3 tényezőről külön-külön megmutatni, hogy N-nek osztói.
a) A 17-tel való oszthatóság kimutatására alakítsuk át N-et a következőképpen:

N=937n+121n-2⋅138n=(937n-138n)-(138n-121n).
Mivel (a-b) osztója (an-bn)-nek, és 937-138=799=47⋅17, 138-121=17, azért 17 osztója N-nek.
b) A 23-mal való oszthatóság kimutatására N-nek egy másik átalakítását használjuk fel:
N=(937n+121n)-2n+1⋅3n⋅23n.
Elég az első két tag összegét vizsgálni. Mivel n páratlan számot jelent, és ismeretes, hogy ez esetben (an+bn) osztható (a+b)-vel, így N osztható a 937+121=1058=2⋅232 számmal, tehát 23-mal is.
c) Az 5-tel való oszthatóság szempontjából vizsgáljuk az egyes tagokat külön-külön. Mivel 937+3, 121-1 és 138-3 osztható 5-tel, így a b), illetve a) ponthoz hasonlóan adódik, hogy
937n+3n,121n-1és138n-3n
osztható 5-tel, tehát
N=937n+3n-121n-1-2(138n-3n)-(3n+1-1)
osztható 5-tel, ha az utolsó különbség osztható vele. Mivel n=4k+3, így
3n+1-1=(34)k+1-1
osztható a
34-1=(32+1)(32-1)=10⋅8
számmal, tehát 5-tel is.
a), b) és c) együttesen azt jelenti, hogy N osztható 17⋅23⋅5=1955-tel.
 

Papp Éva (Bp. VIII., Apáczai Csere g. I. o. t.)