Kezdőlap


Feladat:	709. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grell Mihály , Parlagh Gyula , Tusnády Gábor
Füzet:	1956/május, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/november: 709. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mindenekelőtt nyilvánvaló, hogy a valós gyökök csak pozitívok lehetnek, mert negatív $x$ esetén a baloldal minden tagja pozitív s így nem lehet 0. Vizsgáljuk meg, van-e az egyenletnek racionális gyöke ?
Jelen esetben a legmagasabb fokú tag együtthatója 1, tehát a racionális gyökök csak egész számok lehetnek. Tehát az előrebocsátott megállapítást figyelembe véve a racionális gyökök csak 180 pozitív osztói közül kerülhetnek ki. Behelyettesítve sorra az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 stb. értékeket meggyőződhetünk, hogy 2, 3, 5 és 6 eleget tesznek egyenletünknek, és mivel négynél több gyök nem lehet, a további értékeket nem is kell kipróbálnunk; feladatunkat megoldottuk.

Parlagh Gyula (Kecskemét, Katona J. g. III. o. t.)

II. megoldás: A 656. feladatban (K. M. L. XI. 2. sz., 1955. okt. 57. old.) nyert szükséges és elégséges feltétel, hogy egy negyedfokú egyenlet másodfokúra redukálható legyen, jelen esetben teljesül. Ugyanis

\begin{matrix} a^{3} - 4 a b + 8 c = - 16^{3} + 4 \cdot 16 \cdot 91 - 8 \cdot 216 = 16 (- 256 + 364 - 108) = 0. \end{matrix}

Az ott megadott

\begin{matrix} x = z - \frac{a}{4} = z + 4 \end{matrix}

transzformációval a

\begin{matrix} z^{4} - 5 z^{2} + 4 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ebből

z_{1,2} = \pm 1

z_{3,4} = \pm 2

, és így

\begin{matrix} x_{1} = 5, x_{2} = 3, x_{3} = 6, x_{4} = 2. \end{matrix}

Grell Mihály (Bp. XVI., Corvin Mátyás g. III. o. t.)

III. megoldás: Egészítsük ki (1) baloldalának első két tagját teljes négyzetté:

\begin{matrix} x^{4} - 16 x^{3} + 64 x^{2} + 27 x^{2} - 216 x + 180 = {(x^{2} - 8 x)}^{2} + 27 (x^{2} - 8 x) + 180 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} (x^{2} - 8 x) = - 15, ill. - 12. \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} - 8 x + 15 = 0, ill. x^{2} - 8 x + 12 = 0 \end{matrix}

(2)

egyenletekből az előző megoldásokban nyert értékek adódnak.

Tusnády Gábor (Sátoraljaújhely, Kossuth g. I. o. t.)

Megjegyzés: A (2) alatti egyenletekhez úgy is juthatunk, ha megpróbáljuk (1) baloldalát

{(x^{2} + a x + b)}^{2} - c

alakra hozni.