Feladat: 708. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bartha Gyöngyi ,  Berár I. ,  Borsi L. ,  Csapody M. ,  Csiszár I. ,  Farkas Marianna ,  Fekete Gy. ,  Ferentzy E. ,  Frivaldszky S. ,  Harza T. ,  Horváth J. ,  Kereszti I. ,  Komjáthy J. ,  Lukács G. ,  Makkai Mihály ,  Mályusz K. ,  Mendel Á. ,  Nagy J. ,  Osváth J. ,  Papp Z. ,  Parlagh Gy. ,  Pogány Ö. ,  Rázga T. ,  Rétey Piroska ,  Réti S. ,  Rockenbauer A. ,  Soós T. ,  Stahl J. ,  Szabados J. ,  Szilárd A. ,  Wollner R. ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1956/április, 113 - 114. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek szerkesztése, Térgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/október: 708. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: a) Az a, b, c félegyenesek ne legyenek egy síkban. Ez esetben egy 3-oldalú (vagy 3-élű) testszögletet (triédert) határoznak meg. Az X, Y, Z pontok, amelyek a feladat szerint más-más triéder lapon fekszenek, egy síkot határoznak meg. E sík metszi ki a triéderből a keresett háromszöget. Elég megszerkeszteni az [XYZ] síknak metszés vonalát a [bc] síkkal, mert e metszésvonal metszi ki a b és c egyenesekből a keresett háromszög B és C csúcspontjait, amelyeket összekötve Z, ill. Y-nal, megkapjuk a háromszög második és harmadik oldalát, amelyek az a-n fekvő A pontban metszik egymást (lásd 1. és 2. ábrát). Ha A nem a félegyenesre, hanem annak P-n túli meghosszabbítására vagy nem a végesbe kerül, akkor a feladatnak nincs megoldása.

 
 
1. ábra
 
 
2. ábra
 

Az [XYZ] síknak a [bc] síkkal való metszésvonalának egy pontját, az X-et ismerjük; egy másik pontját a ZY egyenesnek a [bc] síkkal való D döféspontja szolgáltatja. Ismeretes, hogy egyenes és sík döféspontját úgy határozzuk meg, hogy az egyenesen át fektetett tetszőleges segédsíknak határozzuk meg a metszésvonalát az adott síkkal. E metszésvonal és az adott egyenes metszéspontja lesz a keresett döféspont. Az 1. ábrában segédsíkul a ZY egyenesen átmenő és az adott a egyenessel párhuzamos síkot választottuk, amely az [ab] és [ac] triéder oldalakból a ZB'a ill. YC'a egyeneseket metszi ki. A 2. ábrában segédsík gyanánt az A'ZY síkot választottuk, ahol A' az a egyenes egy tetszőleges pontja. Az A'Z és A'Y egyenesek metszik ki a b, ill. c egyenesekből a B', ill. C' pontokat. Mindkét esetben a B'C' egyenes metszi ki a ZY-ból a D döféspontot. (Ha D nincs a végesben, vagyis B'C'ZY, akkor az X-hez illeszkedő BC oldal párhuzamos ZY-nal.)
 

Megjegyzés: Amíg a triéder minden élszöge 180-nál kisebb, addig X, Y, Z nem lehetnek egy egyenesen, és az [XYZ] sík nem mehet át P-n. Ez esetben tehát ‐ az említett esettől eltekintve ‐ egy és csakis egy megoldás van.
Ha a fenti feltétel nem áll fenn, vagyis az egyik szögtartomány nagyobb 180-nál, akkor az XYZ pontok közül az, amelyik ebben a tartományban fekszik, a keresett háromszög oldalának meghosszabbításán van, tehát a szó szorosabb értelmében vett megoldás nincs.
b) Ha az adott a, b, c félegyenesek egy síkban vannak, akkor az adott ábra térbeli triéder párhuzamos vetületének fogható fel, és a szerkesztés változatlan marad a vetületben.
 

II. megoldás: A síkbeli eset térbeli meggondolások nélkül is megoldható, pl. Desargues tételének (lásd K. M. L. XII. 1. sz. 1956. január, 3. old.) felhasználásával.
Képzeljük a feladatot megoldottnak. A 2. ábrában az ABCΔ, és A'B'C'Δ, olyan helyzetűek, hogy a megfelelő pontok összekötései egy ponton, a P-n mennek át, tehát Desargues tétele szerint a megfelelő egyenesek metszéspontjai egy egyenesen vannak, vagyis az XY egyenesen lesz rajta a tetszőlegesen felvett A'-höz megszerkesztett B'C' egyenesnek és a keresett BC egyenesnek D metszéspontja.
 

Makkai MiháLy (Bp. Eötvös J. g. III. o. t.)