|
Feladat: |
708. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bartha Gyöngyi , Berár I. , Borsi L. , Csapody M. , Csiszár I. , Farkas Marianna , Fekete Gy. , Ferentzy E. , Frivaldszky S. , Harza T. , Horváth J. , Kereszti I. , Komjáthy J. , Lukács G. , Makkai Mihály , Mályusz K. , Mendel Á. , Nagy J. , Osváth J. , Papp Z. , Parlagh Gy. , Pogány Ö. , Rázga T. , Rétey Piroska , Réti S. , Rockenbauer A. , Soós T. , Stahl J. , Szabados J. , Szilárd A. , Wollner R. , Zsombok Z. |
Füzet: |
1956/április,
113 - 114. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek szerkesztése, Térgeometriai szerkesztések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1955/október: 708. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: a) Az , , félegyenesek ne legyenek egy síkban. Ez esetben egy 3-oldalú (vagy 3-élű) testszögletet (triédert) határoznak meg. Az , , pontok, amelyek a feladat szerint más-más triéder lapon fekszenek, egy síkot határoznak meg. E sík metszi ki a triéderből a keresett háromszöget. Elég megszerkeszteni az síknak metszés vonalát a síkkal, mert e metszésvonal metszi ki a és egyenesekből a keresett háromszög és csúcspontjait, amelyeket összekötve , ill. -nal, megkapjuk a háromszög második és harmadik oldalát, amelyek az -n fekvő pontban metszik egymást (lásd 1. és 2. ábrát). Ha nem a félegyenesre, hanem annak -n túli meghosszabbítására vagy nem a végesbe kerül, akkor a feladatnak nincs megoldása. 1. ábra 2. ábra Az síknak a síkkal való metszésvonalának egy pontját, az -et ismerjük; egy másik pontját a egyenesnek a síkkal való döféspontja szolgáltatja. Ismeretes, hogy egyenes és sík döféspontját úgy határozzuk meg, hogy az egyenesen át fektetett tetszőleges segédsíknak határozzuk meg a metszésvonalát az adott síkkal. E metszésvonal és az adott egyenes metszéspontja lesz a keresett döféspont. Az 1. ábrában segédsíkul a egyenesen átmenő és az adott egyenessel párhuzamos síkot választottuk, amely az és triéder oldalakból a ill. egyeneseket metszi ki. A 2. ábrában segédsík gyanánt az síkot választottuk, ahol az egyenes egy tetszőleges pontja. Az és egyenesek metszik ki a , ill. egyenesekből a , ill. pontokat. Mindkét esetben a egyenes metszi ki a -ból a döféspontot. (Ha nincs a végesben, vagyis , akkor az -hez illeszkedő oldal párhuzamos -nal.) Megjegyzés: Amíg a triéder minden élszöge -nál kisebb, addig , , nem lehetnek egy egyenesen, és az sík nem mehet át -n. Ez esetben tehát ‐ az említett esettől eltekintve ‐ egy és csakis egy megoldás van. Ha a fenti feltétel nem áll fenn, vagyis az egyik szögtartomány nagyobb -nál, akkor az pontok közül az, amelyik ebben a tartományban fekszik, a keresett háromszög oldalának meghosszabbításán van, tehát a szó szorosabb értelmében vett megoldás nincs. b) Ha az adott , , félegyenesek egy síkban vannak, akkor az adott ábra térbeli triéder párhuzamos vetületének fogható fel, és a szerkesztés változatlan marad a vetületben. II. megoldás: A síkbeli eset térbeli meggondolások nélkül is megoldható, pl. Desargues tételének (lásd K. M. L. XII. 1. sz. 1956. január, 3. old.) felhasználásával. Képzeljük a feladatot megoldottnak. A 2. ábrában az , és , olyan helyzetűek, hogy a megfelelő pontok összekötései egy ponton, a -n mennek át, tehát Desargues tétele szerint a megfelelő egyenesek metszéspontjai egy egyenesen vannak, vagyis az egyenesen lesz rajta a tetszőlegesen felvett -höz megszerkesztett egyenesnek és a keresett egyenesnek metszéspontja.
Makkai MiháLy (Bp. Eötvös J. g. III. o. t.) |
|
|