Kezdőlap


Feladat:	707. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1956/április, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/október: 707. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a szabályos $3$ oldalú gúla alaplapja $A B C$ , csúcspontja $S$ , alapéle $a$ . Az alaplap középpontját jelöljük $O$ -val, akkor $S O$ , a gúla magassága, merőleges az alaplap síkjára, tehát a $D O S ∢ = 90^{\circ}$ (lásd az ábrát).

S D = m_{0}

oldallap-magasság felezi az

ε

élszöget és a

C D

alaplap-magassággal bezárja a

φ

lapszöget.
Az

A D S

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} m_{0} = \frac{a}{2} ctg \frac{ε}{2}, \end{matrix}

(1)

D O S

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} m_{0} = \frac{O D}{cos φ} = \frac{1}{3} \cdot D C \cdot \frac{1}{cos φ} = \frac{a \sqrt[]{3}}{6 cos φ} . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) egybevetéséből következik, hogy

\begin{matrix} ctg \frac{ε}{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{3 cos φ}, vagyis 3 cos φ = \sqrt[]{3} \cdot tg \frac{ε}{2} . \end{matrix}

Figyelembe véve a

φ = ε

feltételt, mindkét oldalt négyzetre emelve nyerjük, hogy

\begin{matrix} 3 cos^{2} ε = {tg}^{2} \frac{ε}{2} = \frac{1 - cos ε}{1 + cos ε} . \end{matrix}

Innen

cos ε

-ra, a

\begin{matrix} 3 cos^{3} ε + 3 cos^{2} ε + cos ε = 1 \end{matrix}

harmadfokú egyenlet adódik.
Mindkét oldalt

9

-cel szorozva

\begin{matrix} 27 cos^{3} ε + 27 cos^{2} ε + 9 cos ε = 9. \end{matrix}

Vegyük észre, hogy a bal oldal

3 cos ε + 1

köbének első három tagja, tehát mindkét oldalhoz

1

-et adva

\begin{matrix} {(3 cos ε + 1)}^{3} = 10, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} cos ε = \frac{\sqrt[^{3}]{10} - 1}{3} \sim 0, 3848, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} ε = φ = 67^{\circ} 22' . \end{matrix}