Kezdőlap


Feladat:	705. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halmágyi Ákos , Rázga Tamás , Soós Tibor , Zsombok Zoltán
Füzet:	1956/április, 108 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/október: 705. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alábbi megoldásokban felhasználjuk a következő megjegyzést.
Tekintve, hogy hasonló háromszögekben a szögek egyenlők, nem megy az általánosság rovására, ha feltesszük, hogy $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$ .

I. megoldás: A cosinus-tétel alapján

\begin{matrix} cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}, \\ cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} . \end{matrix}

Ennek alapján

\begin{matrix} cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - 1 = \frac{1}{8} = cos γ . \end{matrix}

(1)

Mivel

α

a legkisebb szög, így hegyesszög, tehát

2 α < 180^{\circ}

, és ezért az (1) egyenlőségből következik, hogy

\begin{matrix} 2 α = γ . \end{matrix}

Zsombók Zoltán (Bp. IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.)

II. megoldás: Szerkesszünk az adott oldalakból háromszöget, és rajzoljuk meg a

γ

szög

f_{c}

felezőjét, amelynek végpontja a

c

oldalon

D

(1. ábra).

1. ábra

Legyen

B D = c_{1}

A D = c_{2}

. Azt kell kimutatnunk, hogy

α = \frac{γ}{2}

, pedig akkor és csak akkor áll, ha

c_{2} = f_{c}

.
Ismeretes tétel alapján

c_{1} : c_{2} = a : b = 4 : 5

, és így

\begin{matrix} c_{1} = \frac{4}{9} c = \frac{4}{9} \cdot 6 = \frac{8}{3} \end{matrix}

és

\begin{matrix} c_{2} = \frac{5}{9} \cdot 6 = \frac{10}{3} . \end{matrix}

A 698. feladatban bebizonyítottuk, hogy

\begin{matrix} f_{c} = \sqrt[]{a b - c_{1} c_{2}} = \sqrt[]{20 - \frac{80}{9}} = \sqrt[]{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3}, \end{matrix}

tehát tényleg

\begin{matrix} c_{2} = f_{c} . \end{matrix}

Halmágyi Ákos (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. II. o. t.)

III. megoldás: Az oldalaival megadott háromszög

B

csúcsa körül rajzoljunk

B C = a = 4

sugarú kört. Messe ez az

A C

oldalt másodszor

D

-ben, az

A B

oldalt, ill. annak meghosszabbítását

E

, ill.

F

-ben (2. ábra).

2. ábra

Ismeretes, hogy a körhöz egy pontból húzott szelő metszeteinek szorzata állandó, vagyis

\begin{matrix} A D \cdot A C = A E \cdot A F = A D \cdot 5 = 2 \cdot 10, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} A D = \frac{20}{5} = 4. \end{matrix}

Tehát

D

A

és

C

pont között van, és az

A D B Δ

egyenlő szárú, vagyis az

A B D ∢ = α

, és így e háromszög

B D C ∢ = γ

külső szöge egyenlő a szemközti két belső szög összegével, vagyis

\begin{matrix} γ = 2 α . \end{matrix}

Soós Tibor (Bp. I., Petőfi g. III. o. t.)

IV. megoldás: Keressük annak, az oldalakkal kifejezett, szükséges és elégséges feltételét, hogy

2 α = γ

teljesüljön. Az 1. ábra jelöléseit használva ez a feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha az

A B C

és a

C B D

háromszögek hasonlók, mivel a két háromszög

B

-nél levő szöge közös. Ugyancsak a közös szög miatt ez a hasonlóság akkor és csak akkor következik ha

\begin{matrix} c_{1} : a = a : c . \end{matrix}

A szögfelező tétel alapján

\begin{matrix} c_{1} = \frac{a c}{a + b}, \end{matrix}

és így a keresett szükséges és elégséges feltétel, hogy

\begin{matrix} a^{2} = c c_{1} = \frac{a c^{2}}{a + b}, \end{matrix}

vagy átrendezve

\begin{matrix} c^{2} = a (a + b) \end{matrix}

teljesüljön, ‐ feltéve természetesen ezenkívül azt, hogy az

a

b

c

oldalakból szerkeszthető háromszög.
Feladatunkban

c^{2} = 36

a (a + b) = 36

, tehát a kritérium teljesül, s így

\begin{matrix} 2 α = γ . \end{matrix}

Rázga Tamás (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)