Kezdőlap


Feladat:	703. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Frivaldszky Sándor , Katona Marianna
Füzet:	1956/április, 106 - 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/október: 703. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a középső páratlan számot $x$ -szel, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + x^{2} + {(x + 2)}^{2} = 3 x^{2} + 8 = 1111 y, \end{matrix}

ahol

y

egyjegyű páratlan szám.
A diofantoszi egyenletek megoldási eljárását követve

\begin{matrix} x^{2} = \frac{1111 y - 8}{3} = 370 y - 2 + \frac{y - 2}{3} = 370 y - 2 + u, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} 0 < y = 3 u + 2 \leq 9. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} 0 < u \leq \frac{7}{3}, vagyis u = 1, vagy 2. \end{matrix}

u = 2

nem felel meg, mert ez esetben

y

páros, tehát csak

u = 1

y = 5

adhat megoldást, ha ilyen egyáltalán létezik.

y = 5

esetén

\begin{matrix} x^{2} = 370 \cdot 5 - 2 + 1 = 1849 = 43^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x = \pm 43, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} 41, 43, 45 illetőleg - 45, - 43, - 41. \end{matrix}

illetőleg feladatunk két megoldása.
Tényleg

41^{2} + 43^{2} + 45^{2} = 1681 + 1849 + 2025 = 5555.

Katona Marianna (Bp. VIII., Apáczai Csere lg. III. o. t.)

II. megoldás: Az I. megoldásban szereplő

\begin{matrix} 3 x^{2} + 8 = 1111 y \end{matrix}

diofantoszi egyenlet ‐ a feladat feltételei mellett ‐ egyszerűbben is megoldható. A bal oldal

3

-mal osztva annyi maradékot ad, amennyit

8

ad, tehát

2

-t. Ugyanannyit kell adnia a jobb oldalnak is. A jobb oldal

3 \cdot 370 y + y

alakban írható, és így nyilvánvaló, hogy

y

-nak kell

3

-mal osztva

2

-t adni maradékul. Az egyjegyű páratlan számok közül azonban csak

5

ilyen, tehát

y = 5

, és így

3 x^{2} + 8 = 5555

, ahonnan

x^{2} = \frac{5547}{3} = 1849

s. i. t., mint az I. megoldásban.

Frivaldszky Sándor (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)