Kezdőlap


Feladat:	702. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Gyula , Csiszár Imre
Füzet:	1956/április, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/október: 702. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A tételt teljes indukcióval bizonyítjuk. Kifejezésünket $f (n)$ -nel jelölve, $f (1) = 24 = 6 \cdot 4$ , vagyis tételünk $n = 1$ -re igaz.
Tegyük fel, hogy tételünk egy $k$ egész számra igaz, vagyis

\begin{matrix} f (k) = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k = 6 N_{k}; \end{matrix}

kimutatjuk, hogy akkor

f (k + 1)

is osztható

6

-tal.

\begin{matrix} f (k + 1) = 2 {(k + 1)}^{3} + 9 + {(k + 1)}^{2} + 13 (k + 1) = 2 (k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1) + \\ + 9 (k^{2} + 2 k + 1) + 13 (k + 1) = (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k) + 6 k^{2} + 24 k + 24 = \\ = 6 N_{k} + 6 (k^{2} + 4 k + 4) = 6 N_{k + 1} . \end{matrix}

Mivel tételünk, mint láttuk

n = 1

-re igaz, azért minden természetes számra helyes.

Beke Gyula (Hatvan, Bajza g. IV. o. t.)

II. megoldás: Alakítsuk át kifejezésünket a következőképpen:

\begin{matrix} 2 n^{3} + 9 n^{2} + 13 n = 2 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 3 n^{2} + 9 n = 2 n (n^{2} + 3 n + 2) + \\ + 3 n^{2} + 3 n + 6 n = 2 n (n + 1) (n + 2) + 3 n (n + 1) + 6 n . \end{matrix}

Mivel két egymás utáni szám szorzata mindig páros, három egymás utáni szám szorzata pedig mindig osztható

2

-vel és

3

-mal, s így

6

-tal is, azért a jobboldal első tagja osztható

2 \cdot 6 = 12

-vel, a második tagja osztható

3 \cdot 2 = 6

-tal. A harmadik tagnak

6

-tal való oszthatósága nyilvánvaló. Tehát a három tag összege osztható

6

-tal.

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)