Kezdőlap


Feladat:	701. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szeidl Béla
Füzet:	1956/április, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Algebrai egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/október: 701. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletrendszerünknek csak úgy van értelme, ha $a \neq 0$ , $b \neq 0$ , $c \neq 0$ , és mivel e három állandó reciprok értéke sem $0$ , így $x + y + z \neq 0$ . Ezenkívül még ki kell zárnunk az $x = 0$ , $y = 0$ , $z = 0$ , $y + z = 0$ , $z + x = 0$ és $x + y = 0$ eseteket.
A három egyenletből rendre kifejezve az állandókat:

\begin{matrix} a = \frac{x y + x z}{x + y + z}, & (4) \\ b = \frac{x y + y z}{x + y + z}, & (5) \\ c = \frac{x z + y z}{x + y + z} . & (6) \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} a + b - c = \frac{2 x y}{x + y + z}, & (7) \\ a - b + c = \frac{2 x z}{x + y + z}, & (8) \\ - & a + b + c = \frac{2 y z}{x + y + z} . & (9) \end{matrix}

Ezekből az ismeretlenek értéke például a következőképpen határozható meg:
A (9)-et elosztva (8)-cal, ill. (7)-tel

\begin{matrix} y = \frac{- a + b + c}{a - b + c} x, z = \frac{- a + b + c}{a + b - c} x . \end{matrix}

y

és

z

ezen értékeit (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} \frac{1}{x} (1 + \frac{1}{\frac{- a + b + c}{a - b + c} + \frac{- a + b + c}{a + b - c}}) = \frac{1}{a}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x = a + \frac{a (a - b + c) (a + b - c)}{(- a + b + c) 2 a} = \frac{2 (a b + a c + b c) - (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2 (- a + b + c)} . \end{matrix}

Hasonlóképpen nyerjük, hogy

\begin{matrix} y = \frac{2 (a b + a c + b c) - (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2 (a - b + c)}, z = \frac{2 (a b + a c + b c) - (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2 (a + b - c)} . \end{matrix}

Szeidl Béla (Bp. V., Cukor u. g. IV. o. t.)