Kezdőlap


Feladat:	700. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Papp Éva
Füzet:	1956/április, 103 - 104. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 700. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$32$ bábból kettőt $C_{32}^{2} = (\binom{32}{2})$ -féleképpen húzhatunk ki, tehát a keresett valószínűségeknél a lehetséges esetek száma $(\binom{32}{2}) = 31 \cdot 16$ .
a) Két sötét bábot, két világos bábot, vagy két különböző színű bábot húzni egymást kizáró események, és negyedik lehetőség nincs. Tehát a keresett valószínűség

\begin{matrix} V_{a} = 1 - v, \end{matrix}

ahol

v

jelenti a

2

világos báb húzásának valószínűségét. Két világos bábot

(\binom{16}{2}) = 120

-féleképpen húzhatunk, tehát

v = \frac{120}{31 \cdot 16} = \frac{15}{62}

és így

\begin{matrix} V_{a} = 1 - \frac{15}{62} = \frac{47}{62} . \end{matrix}

b) Azonos színű futót és gyalogot

4 \cdot 8

-féleképpen húzhatunk, mivel minden futóhoz párosítható

8

azonos színű gyalog. Két különböző színű bábot

16 \cdot 16

-féleképpen húzhatunk. A két esemény egymást kizárja. Valamelyikük bekövetkezésének valószínűsége

\begin{matrix} V_{b} = \frac{4 \cdot 8 + 16 \cdot 16}{31 \cdot 16} = \frac{18}{31} . \end{matrix}

(Ezzel a csoportosítással az összes kedvező esetet egyszer és csak egyszer vettük számításba, a különböző színű futót és gyalogot a két különböző színű báb húzásánál.
c) Két különböző színű bástyák

2 \cdot 2 = 4

-féleképpen húzhatunk gyalogot és azonos színű, de különböző menetű bábut

8 \cdot 8 = 64

-féleképpen húzhatunk; bástyát, futót vagy huszárt és azonos színű, de különböző menetű bábot

6 \cdot

\cdot 14 = 84

-féleképpen húzhatunk; királyt vagy vezért és vele azonos színű, de különböző menetű bábot

2 \cdot 15 = 30

-féleképpen húzhatunk. A felsorolt négy esemény egymást kizárja, ezért valamelyikük bekövetkezésének valószínűsége:

\begin{matrix} V_{c} = \frac{4 + 64 + 84 + 30}{31 \cdot 16} = \frac{91}{248} . \end{matrix}

d) Egy király és azonos színű huszár, vagy két egyszínű báb húzása oly esemény, mely azonos két egyszínű báb húzásával. A kedvező esetek száma:

2 \cdot (\binom{16}{2}) = 240

, tehát

\begin{matrix} V_{d} = \frac{240}{31 \cdot 16} = \frac{15}{31} . \end{matrix}

e) Két egyszínű bábot (lásd az előbbi esetet)

240

-féleképpen húzhatunk. Ezek között előfordul az azonos menetű egyszínű bábok kihúzásának eseménye is, tehát ezenkívül már csak azonos menetű, de különböző színű bábok húzását kell számításba venni. Két ellenkező színű gyalogot

8 \cdot 8 = 64

-féleképpen húzhatunk; két ellenkező színű bástyát, huszárt vagy futót egyenként

2 \cdot 2

összesen

6 \cdot 2 = 12

-féleképpen húzhatunk; két ellenkező színű királyt vagy vezért egyenként

1

, összesen

2 \cdot 1 = 2

-féleképpen húzhatunk. A felsorolt négyfajta esemény ezúttal is kizárja egymást. Valamelyikük bekövetkezésének valószínűsége

\begin{matrix} V_{e} = \frac{240 + 64 + 12 + 2}{31 \cdot 16} = \frac{159}{248} . \end{matrix}

Papp Éva (Bp. VIII., Apáczai Csere lg. I. o. t.)