Feladat: 696. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csiszár Imre 
Füzet: 1956/március, 76 - 77. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú diofantikus egyenletek, Szöveges feladatok, Háromszögek geometriája, Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/szeptember: 696. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög oldalait nagyság szerint x, y és z-vel.
Tehát

x>y>z(1)
Ahhoz, hogy ekkora szakaszokból háromszöget lehessen szerkeszteni, szükséges és elégséges, hogy
x<y+z(2)
legyen. A feladat szerint
x+y+z=240,(3)
3x-2(y+z)=5z+10,(4)
továbbá kell, hogy x, y és z egész szám legyen.
Eszerint a (3), (4) diofantoszi egyenletrendszert kell megoldanunk, majd a gyökhármasok közül kiválasztanunk azokat, amelyek eleget tesznek (1)-nek és (2)-nek egyaránt.
Fejezzük le( (3)-ból z-t
z=240-x-y,(3*)
majd helyettesítjük (4)-be. Rendezés után nyerjük, hogy 2x+y=338, vagyis
y=338-2x.(5)
Ez az egyenlet minden egész x értékhez egész y-t szolgáltat, egész x és y pedig (3*)-ból z-re is egész értéket ad.
Ki kell még választanunk a megoldásuk közül azokat, amelyek (2)-nek és (1)-nek egyaránt eleget tesznek. (5) és (3*) felhasználásával (2) így írható:
x<(338-2x)+[240-x-(338-2x)],
amiből
x<120.(6)

Másrészt (1) szerint x≥y, vagyis x≥338-2x, ahonnan
x>112.(7)
(6) és (7) a 113 ‐ 119-ig terjedő egész x értékekre teljesül. A hozzájuk tartozó y értékeket (5)-ből, a z értékeket (3)-ból kiszámíthatjuk. Tehát az alábbi 7 gyökhármas alkotja a megoldást:
x=113114115116117118119y=112110108106104102100z=15161718192021
 

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)