Kezdőlap


Feladat:	695. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Imre , Gál Margit , Perneczky László
Füzet:	1956/március, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/szeptember: 695. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egyenletünk így írható

\begin{matrix} (x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x - 5) - 10 = 0. \end{matrix}

A baloldal szorzattá alakítható:

\begin{matrix} (x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x - 6) + x^{2} + 4 x + 4 - 10 = \\ = (x^{2} - 4 x - 6) (x^{2} + 4 x + 4 + 1) = (x^{2} + 4 x - 6) (x^{2} + 4 x + 5) = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} + 4 x + 5 = 0 \end{matrix}

egyenletnek nincs valós gyöke, mert a diszkriminánsa

D = 16 - 20 < 0

.
Az

\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 6 = 0 \end{matrix}

egyenletből

\begin{matrix} x_{1} = - 2 + \sqrt[]{10}, és x_{2} = - 2 - \sqrt[]{10} . \end{matrix}

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. IV, o. t.)

II. megoldás: Az I. megoldásban nyert két másodfokú egyenlethez úgy is juthatunk, hogy az elsőfokú tényezők összeszorzása után az

\begin{matrix} x^{2} + 4 x = y \end{matrix}

helyettesítést alkalmazzuk, és

y

helyébe beírjuk a keletkező

\begin{matrix} (y + 4) (y - 5) = 10, vagyis y^{2} - y - 30 = 0 \end{matrix}

egyenlet

y_{1} = 6, y_{2} = - 5

gyökeit.

Perneczky László (Kaposvár, Táncsics g. IV. o. t.)

III. megoldás: Az

x + 2 = y

helyettesítéssel rendezés után az

\begin{matrix} y^{4} - 9 y^{2} - 10 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk, ahonnan

\begin{matrix} y^{2} = 10, vagy y^{2} = - 1. \end{matrix}

Az utóbbi egyenletnek nincs valós gyöke, az előbbi gyökeit véve,

x

-re az

\begin{matrix} x_{1} = - 2 + \sqrt[]{10}, x_{2} = - 2 - \sqrt[]{10} \end{matrix}

értékek adódnak.

Gál Margit (Kaposvár, Munkácsy M. Ig. IV. o. t.)