Kezdőlap


Feladat:	692. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bártfai P. , Biczó G. , Csák J. , Csiszár Imre , Frivaldszky S. , Füst Gy. , Hidas P. , Huszár M. , Jakubovics J. , Jedlovszky P. , Katona P. , Kirz J. , Kiss P. , Makkai M. , Mecseki A. , Orlik P. , Parlagh Gy. , Perneczky L. , Quittner P. , Rázga T. , Rédl Gy. , Siklósi K. , Stahl J. , Surán G. , Szabados J. , Szántó A. , Szeidl B. , Szentai E. , Tarlacz L. , Ványai L. , Vértes P. , Vigassy Gy. , Zsombok Z.
Füzet:	1956/március, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Várható érték, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/május: 692. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $v$ annak a valószínűsége, hogy $A$ egy játszmát nyer, akkor annak valószínűsége, hogy $A$ $n$ játszma közül ‐ a sorrendtől eltekintve ‐ $k$ játszmát nyer és $n - k$ játszmát veszít

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) v^{k} {(1 - v)}^{n - k} \end{matrix}

ahol

k = 0,1,2, ..., n .

Ezt jelen esetre alkalmazva, a feladat szerint

(0 < v < 1)

\begin{matrix} (\binom{7}{4}) v^{4} {(1 - v)}^{3} = 2 (\binom{7}{5}) v^{5} {(1 - v)}^{2}, \end{matrix}

vagyis

v^{4} {(1 - v)}^{2}

-tel egyszerűsítve

\begin{matrix} 35 (1 - v) = 42 v, innen v = \frac{5}{11} . \end{matrix}

Tehát annak valószínűsége, hogy

A

megnyeri a fogadást

{(\frac{5}{11})}^{7}

. Igazságos fogadás esetén a tétek arányosak a nyerés valószínűségeivel. A fogadást ajánló méltányos tétjét

A

egységnyi tétjével szemben,

t

-vel jelölve

\begin{matrix} t : 1 = [1 - {(\frac{5}{11})}^{7}] : {(\frac{5}{11})}^{7}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t = \frac{1 - {(\frac{5}{11})}^{7}}{{(\frac{5}{11})}^{7}} = {(\frac{11}{5})}^{7} - 1 = 248, 4. \end{matrix}

A fogadás tehát

A

-ra nézve hátrányos, mert

248, 4

-szeres pénz lett volna méltányos.

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. III. o. t.)