Kezdőlap


Feladat:	687. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bánhidy K. , Bayer J. , Biczó G. , Csiszár I. , Frivaldszky J. , Harza T. , Heinemann Z. , Hidas P. , Huszár M. , Jakubovics J. , Jedlovszky P. , Katona P. , Kiss P. , Kocsis J. , Krakóczki F. , Krem A. , Kuti J. , Makkai M. , Mecseki A. , Orlik P. , Parlagh Gy. , Quittner P. , Rázga T. , Rédi Gy. , Surán G. , Szabados J. , Szeidl B. , Szentai E. , Tarlacz L. , Vigassy György , Zagg József , Zsombok Z.
Füzet:	1956/február, 41 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/május: 687. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Fel kell tennünk, hogy $b \neq 1$ és ki kell zárnunk az $y = 1$ értéket, mert különben egyenletrendszerünknek nem volna értelme; továbbá feltehetjük, hogy $a \neq 1$ , mert különben $x = 1$ és $y$ tetszőleges. Ekkor $x \neq 1$ .
Osszuk el a (2) egyenletet (1)-gyel:

\begin{matrix} \frac{(x^{3} - 1) (y - 1)}{(y^{3} - 1) (x - 1)} = \frac{(a^{3} - 1) (b - 1)}{(b^{3} - 1) (a - 1)} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} \frac{x^{2} + x + 1}{y^{2} + y + 1} = \frac{a^{2} + a + 1}{b^{2} + b + 1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (b^{2} + b + 1) (x^{2} + x + 1) = (a^{2} + a + 1) (y^{2} + y + 1) . \end{matrix}

(3)

(1)-ből

\begin{matrix} x = \frac{a - 1}{b - 1} (y - 1) + 1, \end{matrix}

(4)

és így

\begin{matrix} x^{2} + x + 1 = x (x + 1) + 1 = \frac{{(a - 1)}^{2}}{{(b - 1)}^{2}} (y^{2} - 2 y + 1) + \frac{3 (a - 1)}{b - 1} (y - 1) + 3. \end{matrix}

Ezen értéket (3)-ba helyettesítve, és mindkét oldalt

{(b - 1)}^{2}

-tel szorozva

\begin{matrix} (b^{2} + b + 1) [{(a - 1)}^{2} (y^{2} - 2 y - 1) + 3 (a - 1) (b - 1) (y - 1) + 3 {(b - 1)}^{2}] = \\ = {(b - 1)}^{2} (a^{2} + a + 1) (y^{2} + y + 1) . \end{matrix}

y hatványai szerint rendezve

\begin{matrix} (a^{2} b - a b^{2} + b - a) y^{2} + (a b^{3} - a^{2} b^{2} + 2 a b - a^{2} - b^{3} + a b^{2} - b^{2}) y + \\ + (b - a) (b^{2} - a) b = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (b - a) (1 - a b) y^{2} + (b - a) [b (a b - 1) + a - b^{2}] y + (b - a) (b^{2} - a) b = 0. \end{matrix}

a = b

esetén egyenletünk azonosságá válik, és minden

x = y

érték gyöke egyenletrendszerünknek.

a b = 1

esetén

b = \frac{1}{a}

, és így (1) jobb oldala

- a

, (2) jobb oldala

- a^{3} = {(- a)}^{3}

, vagyis ez a feltevés ellentmondásra vezet.
Tehát feltehetjük, hogy

a - b \neq 0

1 - a b \neq 0

(b - a) (1 - a b)

-vel osztva nyerjük

\begin{matrix} y^{2} - (b + \frac{b^{2} - a}{1 - a b}) y + \frac{b (b^{2} - a)}{1 - a b} = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y_{1} = b, y_{2} = \frac{b^{2} - a}{1 - a b}, \end{matrix}

és így (4)-ből

\begin{matrix} x_{1} = a, x_{2} = \frac{a^{2} - b}{1 - a b} . \end{matrix}

x_{1} = a

y_{1} = b

triviális megoldás egyébként közvetlenül látható.

Megjegyzés: Az

x_{2}

y_{2}

gyökök mindegyikének ‐ mint láttuk ‐ különböznie kell 1-től, tehát

a^{2} - b \neq 1 - a b

, vagyis

(a - 1) (a + 1 + b) \neq 0.

Tehát

x_{2} \neq 1

, ha

a + b + 1 \neq 0

. Ugyanez a feltétele annak, hogy

y_{2} \neq 1

x_{2}

y_{2}

csak akkor különbözik a triviális megoldástól, ha

\frac{a^{2} - b}{1 - a b} \neq a

, vagyis

(a - 1) (a b + b + a) \neq 0

, azaz, ha

a b + b + a \neq 0

. Ugyanekkor

y_{2} \neq b

Zagg József (Pécs, Bányaip. t. IV. o. t.)

II. megoldás. Közvetlenül látjuk az

x_{1} = a

y_{1} = b

triviális megoldást. Éppen úgy, mint a I. megoldásban (2) és (1) osztásából nyerjük

\begin{matrix} \frac{x^{2} + x + 1}{a^{2} + a + 1} = \frac{y^{2} + y + 1}{b^{2} + b + 1} . \end{matrix}

(3)

Legyen (1) alapján

\begin{matrix} \frac{x - 1}{a - 1} = \frac{y - 1}{b - 1} = z . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = (a - 1) z + 1, y = (b - 1) z + 1. \end{matrix}

Ezen értékeket (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} \frac{{[(a - 1) z + 1]}^{2} + (a - 1) z + 2}{a^{2} + a + 1} = \frac{{[(b - 1) z + 1]}^{2} + (b - 1) z + 2}{b^{2} + b + 1} . \end{matrix}

A törtet eltávolítva, rendezve és

3 (b - a)

-val egyszerűsítve

\begin{matrix} (1 - a b) z^{2} + (a b - a - b - 2) z + (a + b + 1) = 0. \end{matrix}

(4)

x_{1} = a

y_{1} = b

triviális megoldás a

z = 1

értéket szolgáltatja, vagyis

z = 1

a (4) egyenletnek egyik gyöke. A (

z - 1

) gyöktényezővel osztva

\begin{matrix} (1 - a b) z - (a + b + 1) = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} z = \frac{a + b + 1}{1 - a b} = \frac{x - 1}{a - 1} = \frac{y - 1}{b - 1} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x_{2} = \frac{a^{2} - b}{1 - a b}, y_{2} = \frac{b^{2} - a}{1 - a b} . \end{matrix}

Vigassy György (Bp. I., Petőfi g. IV. o.t.)