Kezdőlap


Feladat:	685. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fried László , Kocsis János , Soós Tibor
Füzet:	1956/január, 14 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Merőleges affinitás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/május: 685. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tekintsük a két egymásra merőleges egyenest egy derékszögű koordináta-rendszer tengelyeinek. A $P$ pont koordinátái $(x, y)$ . A betűzést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

P P'' N

és

P P' M

derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} (1) \frac{x}{a} = cos α, (2) \frac{y}{b} = sin α . \end{matrix}

(1) és (2)-t négyzetre emelve és összeadva kapjuk a mértani hely egyenletét:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = cos^{2} α + sin^{2} α = 1. \end{matrix}

Ez ellipszis egyenlete, melynek középpontja az origó, tengelyei pedig egybeesnek a koordináta-rendszer tengelyeivel. Ha

a > b

, akkor a fókuszok az

x

tengelyen, ellenkező esetben (1. ábra) a fókuszok az

y

tengelyen vannak.
Ha

a = b

, akkor az ellipszis az

x^{2} + y^{2} = a^{2}

egyenletű körré fajul. Ha

P \equiv M

vagy

P \equiv N

, akkor a mértani helyünk az

x

, ill.

y

tengelyen fekvő,

O

felezőponttal bíró,

2 M N

hosszúságú szakasz.

Fried László (Bp. VIII., Széchenyi közg. t. III. o. t.)

II. megoldás: A betűzést az 1. ábra mutatja.

\begin{matrix} P P' M ▵ \sim N P'' P ▵, \end{matrix}

mert megfelelő oldalaik párhuzamosak.
Tehát

\begin{matrix} \frac{y}{b} = \frac{z}{a}, ahol z = \sqrt[]{a^{2} - x^{2}} . \end{matrix}

z

ezen értékét behelyettesítve

\begin{matrix} \frac{y}{b} = \frac{\sqrt[]{a^{2} - x^{2}}}{a} . \end{matrix}

Ebből négyzetre emelés és rendezés után nyerjük az

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

egyenletet.

Kocsis János (Eger, Dobó István g. IV. o. t.)

III. megoldás: Húzzunk az

O

körül egy

N P = a

sugarú kört (2. ábra).

2. ábra

Messe a

P P'

egyenes a kört

P^{*}

-ban.

\begin{matrix} N P'' P ▵ ≃ P^{*} P' O ▵, \end{matrix}

(3)

mert

N P = O P^{*}

P'' P = P' O

, és mindkét háromszög derékszögű.
Figyelembe véve, hogy

\begin{matrix} N P'' P ▵ \sim P P' M ▵, \end{matrix}

(4)

(3) és (4) alapján

\begin{matrix} P^{*} P' O ▵ \sim P P' M ▵, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} P' P^{*} : P' P = O P^{*} : M P = a : b . \end{matrix}

Tehát

P

minden helyzetében hozzárendelhetjük az

a

sugarú körnek

P^{*}

pontját és a megfelelő

P

és

P^{*}

pontokra nézve a

\frac{P^{*} P'}{P P'}

arány állandó és értéke

\frac{a}{b}

. Ez azt fejezi ki, hogy a keresett mértani hely az

a

sugarú körnek affin rokona, tehát ellipszis, amelynek fél nagytengelye

a

, és az affinitás

(P P^{*})

irányába eső fél kistengelye

b

Soós Tibor (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)