Kezdőlap


Feladat:	684. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biczó Géza
Füzet:	1956/január, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hiperbola egyenlete, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/április: 684. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor a kúpszelet tengelyei egybeesnek a $Σ (90^{\circ})$ rendszer tengelyeivel, amelyeket egyszersmind derékszögű koordináta-rendszer tengelyeinek tekintünk.
Ez esetben az ellipszis és hiperbola közös egyenlete

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1 \end{matrix}

(1)

ahol

a

jelenti az ellipszis fél nagytengelyét, ill. a hiperbola fél főtengelyét,

c

pedig a lineáris excentricitást.
A keresett mértani hely pontjainak koordinátáit az érintők által a tengelyekből lemetszett részek adják.
Az

(x_{1}, y_{1})

pontban érintő egyenes egyenlete

\begin{matrix} \frac{x_{1} x}{a^{2}} + \frac{y_{1} y}{a^{2} - c^{2}} = 1, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = 0 & esetén & x & = \frac{a^{2}}{x_{1}}, & (2) \\ x = 0 & esetén & y & = \frac{a^{2} - c^{2}}{y_{1}} . & (3) \end{matrix}

(2) és (3)-ból

\begin{matrix} x_{1} = \frac{a^{2}}{x}, y_{1} = \frac{a^{2} - c^{2}}{y} . \end{matrix}

(x_{1}, y_{1})

pont rajta van az adott kúpszeleten, tehát

x_{1}

és

y_{1}

kielégítik az (1) alatti egyenletet, vagyis

\begin{matrix} \frac{\frac{a^{4}}{x^{2}}}{a^{2}} + \frac{\frac{{(a^{2} - c^{2})}^{2}}{y^{2}}}{a^{2} - c^{2}} = \frac{a^{2}}{x^{2}} + \frac{a^{2} - c^{2}}{y^{2}} = 1 \end{matrix}

a keresett mértani hely egyenlete. Más alakban írva

\begin{matrix} a^{2} y^{2} + (a^{2} - c^{2}) x^{2} = x^{2} y^{2}, \end{matrix}

amiből nyilvánvaló, hogy a mértani hely negyedfokú görbe.
Két esetet kell megkülönböztetni: a)

a^{2} - c^{2} > 0

és b)

a^{2} - c^{2} < 0

.
a) esetben

a^{2} - c^{2} = b^{2}

és az (1) alatti egyenlet ellipszis-egyenlete, amelynek fél kistengelye

b

. A mértani hely egyenlete tehát

\begin{matrix} a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} = x^{2} y^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = \pm \frac{b x}{\sqrt[]{x^{2} - a^{2}}}, x = \pm \frac{a y}{\sqrt[]{y^{2} - b^{2}}} . \end{matrix}

\begin{matrix} yvalós, ha: & x < - a & és & x > a. \\ Értékkészlet: & y < - b & és & y > b. \\ Aszimptoták: & x = \pm a & és & y = \pm b. \end{matrix}

Mindkét változónak csak páros kitevőjű hatványa szerepel, tehát görbénk mindkét tengelyre tükrös, és így az

O

pontra nézve centrálisan szimmetrikus.

a = b

esetén az ellipszis körré fajul (ld. a 675. sz. feladatot). A négy egybevágó ágból álló görbe teljesen hasonlít a kör esetén nyert mértani helyhez (ld. az ábrát a múlt szám 139. oldalán), csak a síknegyedeket felező egyenesek

(y = x

y = - x)

már nem szimmetriatengelyek.
b)

a^{2} - c^{2} < 0

esetén hiperbolával van dolgunk, melynek fél melléktengelye

b = \sqrt[]{c^{2} - a^{2}}

.
A mértani helynek egyenlete ez esetben

\begin{matrix} a^{2} y^{2} - b^{2} x^{2} = x^{2} y^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = & \pm \frac{b x}{\sqrt[]{a^{2} - x^{2}}}, \\ x = & \pm \frac{a y}{\sqrt[]{b^{2} + y^{2}}} . \end{matrix}

y

valós, ha

\begin{matrix} - a < x < + a, \end{matrix}

vagyis az értelmezési tartomány a

(- a, a)

intervallum belső pontjai.
Értékkészlet:

y

minden értéket felvehet.
Aszimptoták:

x = \pm a

Éppen úgy, mint az a) esetben ez a görbe is 4 egybevágó ágból áll, melyek szimmetrikusak a két tengelyre, valamint az

O

pontra (ld. az ábrát).

Biczó Géza (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)