Kezdőlap


Feladat:	519. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lázár László , Zawadowski Alfréd
Füzet:	1953/november, 100 - 101. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/február: 519. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen $tg α = λ$ , $tg β = 2 λ$ , $tg γ = 3 λ$ .

\begin{matrix} tg γ = tg [180^{\circ} - (α + β)] = - tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 3 λ = - \frac{λ + 2 λ}{1 - λ \cdot 2 λ} = - \frac{3 λ}{1 - 2 λ^{2}}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 1 - 2 λ^{2} = - 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} λ^{2} = 1. \end{matrix}

Mivel

λ

nem lehet negatív (mert akkor a háromszög minden szöge derékszögnél nagyobb volna), azért

λ = 1

, és így

\begin{matrix} tg α = 1, tg β = 2, tg γ = 3. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} a : b : c = sin α : sin β : sin γ = \frac{tg α}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} α}} : \frac{tg β}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} β}} : \frac{tg γ}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} γ}} = \\ = \frac{1}{\sqrt[]{2}} : \frac{1}{\sqrt[]{5}} : \frac{1}{\sqrt[]{10}} = \sqrt[]{5} : 2 \sqrt[]{2} : 3. \end{matrix}

Zawadowski Alfréd (Bp., I. Petőfi g. III. o. t.)

II. megoldás: Az I. megoldás alapján

tg α = 1

tg β = 2

tg γ = 3

.
Szerkesztünk olyan háromszöget, amelyben a

b

oldalhoz tartozó magasság

B B_{1} = m_{b} = 3

(l. ábrát) és a

b

oldalon lévő két metszet

A B_{1} = b_{1} = 3

és

B_{1} C = b_{2} = 1

E háromszögben tényleg

tg α = 1

tg γ = 3

és

tg β = - \frac{1 + 3}{1 - 3} = 2

.
E háromszög oldalai

\begin{matrix} a & = \sqrt[]{m_{b}^{2} + b_{2}^{2}} = \sqrt[]{9 + 1} = \sqrt[]{10}, \\ b & = b_{1} + b_{2} = 4, \end{matrix}

és

\begin{matrix} c = \sqrt[]{m_{b}^{2} + b_{1}^{2}} = \sqrt[]{9 + 9} = \sqrt[]{18} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} a : b : c = \sqrt[]{10} : \sqrt[]{16} : \sqrt[]{18} = \sqrt[]{5} : \sqrt[]{8} : \sqrt[]{9} = \sqrt[]{5} : 2 \sqrt[]{2} : 3. \end{matrix}

Lázár László (Mezőkövesd, I. László g. III. o. t.)