Kezdőlap


Feladat:	392. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1952/április, 76 - 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Hölder-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 392. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Hölder egyenlőtlenségben

\begin{matrix} 1 / s = 1 - 1 / r = (r - 1) / r, s = r / (r - 1) . \end{matrix}

Legyen

k = 2

és írjunk

b_{1} = c_{1}^{r - 1}, b_{2} = c_{2}^{r - 1}

-et, ekkor

\begin{matrix} {(a_{1}^{r} + a_{2}^{r})}^{1 / r} {(c_{1}^{r} + c_{2}^{r})}^{1 - 1 / r} \geq a_{1} c_{1}^{r - 1} + a_{2} c_{2}^{r - 1} \end{matrix}

alakban kapjuk az egyenlőtlenséget. (Egyenlőség áll, ha

a_{1} / c_{1} = a_{2} / c_{2}

). Írjunk itt

c_{1}

c_{2}

helyett

x_{1} + x_{2}

és

y_{1} + y_{2}

-t,

a_{1}

és

a_{2}

helyére előbb

x_{1}

y_{1}

-et, azután

x_{2}

y_{2}

-t és adjuk össze a két egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} [{(x_{1}^{r} + y_{1}^{r})}^{1 / r} + {(x_{2}^{r} + y_{2}^{r})}^{1 / r}] {[{(x_{1} + x_{2})}^{r} + {(y_{1} + y_{2})}^{r}]}^{1 - 1 / r} \geq \\ \geq (x_{1} + x_{2}) {(x_{1} + x_{2})}^{r - 1} + (y_{1} + y_{2}) {(y_{1} + y_{2})}^{r - 1} = \\ = {(x_{1} + x_{2})}^{r} + {(y_{1} + y_{2})}^{r} . \end{matrix}

A baloldal második tényezőjével, mely pozitív átosztva és osztva még

2 \cdot 2^{1 / r}

-vel az

\begin{matrix} \frac{1}{2} [{(\frac{x_{1}^{r} + y_{1}^{r}}{2})}^{1 / r} + {(\frac{x_{1}^{r} + y_{1}^{r}}{2})}^{1 / r}] \geq {[\frac{{(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{r} + {(\frac{y_{1} + y_{2}}{2})}^{r}}{2}]}^{1 / r} \end{matrix}

egyenlőtlenséghez jutunk. Egyenlőség áll, ha

\frac{x_{1}}{x_{1} + x_{2}} = \frac{x_{1}}{y_{1} + y_{2}}

és

\frac{x_{2}}{x_{1} + x_{2}} = \frac{y_{2}}{y_{1} + y_{2}}

, azaz, ha

\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}}

. Ez az

{(\frac{x^{r} + y^{r}}{2})}^{1 / r}

függvény tágabb értelemben konvex voltát fejezi ki. Ha eljárásunkat nem a kéttagú, hanem a

k

tagú Hölder-egyenlőtlenségre alkalmazzuk, akkor ugyanúgy az

\begin{matrix} {(\frac{x_{1}^{r} + x_{2}^{r} + ... x_{k}^{r}}{k})}^{1 / r} \end{matrix}

tágabb értelemben konvex voltát kifejező egyenlőtlenséghez jutunk.