Kezdőlap


Feladat:	391. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1952/április, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hölder-féle egyenlőtlenség, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 391. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $1 / r + 1 / s = 1 (r > 1)$ . Alkalmazzuk az utolsó egyenlőtlenséget

\begin{matrix} q_{1} = 1 / r, q_{2} = 1 / s, n = 2, x^{(1)} = a_{1}^{r}, y^{(1)} = b_{1}^{s}, x^{(2)} = a_{2}^{r}, \\ y^{(2)} = b_{2}^{s}, ..., x^{(k)} = a_{k}^{r}, y^{(k)} = b_{k}^{s} -re: \\ {(a_{1}^{r} + a_{2}^{r} + ... + a_{k}^{r})}^{1 / r} {(b_{1}^{s} + b_{2}^{s} + ... + b_{k}^{s})}^{1 / s} \geq a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{k} b_{k} . \end{matrix}

Egyenlőség akkor áll, ha

a_{1}^{r} / b_{1}^{s} = a_{2}^{r} / b_{2}^{s} = ... = a_{k}^{r} / b_{k}^{s}

.

Ezt az egyenlőtlenséget nevezik Hölder-egyenlőtlenségnek. Speciálisan, ha

r = s = t

, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{a_{1}^{2} - a_{2}^{2} + ... + a_{k}^{2}} \sqrt[]{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + ... + b_{k}^{2}} \geq a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{k} b_{k} \end{matrix}

és egyenlőség csak akkor állhat, ha

a_{1} / b_{1} = a_{2} / b_{2} = ... = a_{k} / b_{k}

. Ezt az egyenlőtlenséget Cauchy‐Schwarz-féle egyenlőtlenség néven ismerik, bár Bunyakovszkij már előbb is ismerte.