Feladat: 389. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1952/április, 70 - 73. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1951/december: 389. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgálatainkat átvihetjük többváltozós függvényekre is. Kétváltozós függvényt még tudunk ábrázolni a térben: a z=F(x,y) függvény értékeit úgy ábrázolhatjuk, hogy a független változók egy x, y értékpárját egy síkbeli koordináta rendszerben ábrázoljuk és a függvényértékeket egy-egy ilyen pontban a síkra merőleges irányban ábrázoljuk. Minden számbajövő helyen ilyen módon ábrázolva a függvényt általában egy felület alakul ki a pontokból. Ez ismét lehet domború vagy homorú (alulról nézve). Ezekben az esetekben a függvényt is, aminek a felület a képe konvexnek, ill. konkávnak fogjuk nevezni. Pl. a konvexséget geometriailag a térben is azzal jellemezhetjük, hogy a felület két pontját összekötő húr mindig a felület fölött van. Mivel az (x1, y1), (x2, y2), pontok közti szakaszt q2:q1 arányban osztó pont koordinátái, ha még q1+q2=1, (q1x1+q2x2, q1y1+q2y2) és ebben a pontban a görbén a z1=F(x1,y1), z2=F(x2,y2) ordináták közti húr ordinátája q1z1+q2z2, így az említett geometriai tulajdonságot az

F(q1x1+q2x2,q1y1+q2y2)<q1F(x1,y1)+q2F(x2,y2)
Jensen-egyenlőtlenség írja le. Több változó esetén már geometriailag nem tudjuk a függvényt szemléletesen ábrázolni, a konvexség fogalmát azonban ebben az esetben is értelmezhetjük éppen a fenti egyenlőtlenség megfelelőjével. Egy F(x1,x2,...,xn) függvényt konvexnek nevezzük, ha bármely két (x1,x2,...,xn), (y1,y2,...,yn) pontra és q1, q2 pozitív súlyokra, melyekre q1+q2=1 fennáll az
F(q1x1+q2y1,q1x2+q2y2,...,q1xn+q2yn)<<q1F(x1,x2,...,xn)+q2F(y1,y2,...,yn)


egyenlőtlenség. Speciálisan, ha q1=q2=12, akkor kapjuk az
F(x1+y12,x2+y22,...,xn+yn2)<<F(x1,x2,...,xn)+F(y1,y2,...,yn)2


szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenséget. Ismét igaz, hogy ennek a teljesüléséből következik a két és az akárhány tagú súlyozott Jensen-egyenlőtlenség teljesülése is, legalábbis racionális súlyok esetén. A bizonyítást kétváltozós függvényre mondjuk el. Több változóra szószerint ugyanígy történhetik, csak írni kell többet. Feltesszük tehát, hogy egy F(x,y) függvényre teljesül az
F(x1+x22,y1+y22)<F(x1,y1)+F(x2,y2)2
egyenlőtlenség. A Cauchy-féle gondolatmenetet követve először is megmutatjuk, hogy teljesül a hasonló, de 2k tagú szimmetrikus egyenlőtlenség. k=1-re az állítás csak a feltételi egyenlőtlenséget jelenti. Tegyük fel, hogy valamilyen j-re már tetszés szerinti nem csupa egyenlő (x1,y1), (x2,y2), ..., (x2j,y2j) pontpárok esetén bebizonyítottuk az
F(x1+x2+...+x2j2j,y1+y2+...+y2j2j)<<F(x1,y1)+F(x2,y2)+...+F(x2j,y2j)2j


egyenlőtlenséget. Legyen most adva 2j+1 számú pont:
(x1,y1),...,(x2j,y2j),(x2j+1,y2j+1)...(x2j+1,y2j+1).
Ekkor
F(x1+...+x2j+1+x2j+1+...+x2j+12j+1,y1+...+y2j+y2j+1+...+y2j+1)2j+1)==F(x1+...+x2j2j+x2j+1+...+x2j+12j2,y1+...+y2j2j+y2j+1+...+y2j+12j2)≤≤12{F(x1+...+x2j2i,y1+...+y2j2j)+F(x2j+1+...+x2j+12j,y2j+1+...+y2j+12j)}≤≤F(x1,y1)+...+F(x2j,y2j)2j+F(x2j+1,y2j+1)+...+F(x2j+1,y2j+1)2j2==F(x1,y1)+...+F(x1j,y2j)+F(x2j+1,y2j+1)+...+F(x2j+1,y2j+1)2j+1.


Ha a pontok nem mind esnek egybe, akkor nem állhat fenn mindenütt az egyenlőség jele s így teljes indukcióval bizonyítottuk állításunkat.
Ha most van tetszés szerinti számú pontunk: (x1, y1), ..., (xk, yk), akkor válasszuk j-t úgy hogy 2j-1<k<2j, (k=2j-re már bizonyítottuk a szimmetrikus egyenlőtlenség teljesülését) és legyen
x=x1+...+xkk,y=y1+...+ykk.
Ekkor
F(x,y)=F(x1+...+xkk,y1+...+ykk)==F(x1+...+xk+(2j-k)x2j,y1+...+yk+(2j-k)y2j)<<F(x1,y1)+...+F(xk,yk)+(2j-k)F(x,y)2j


az éppen bizonyított állítás szerint, ez pedig átrendezve a
kF(x,y)<F(x1,y1)+...+F(xk,yk)
egyenlőtlenséget adja, vagy x és y jelentését beírva és k-val osztva
F(x1+...+xkk,y1+...+ykk)<F(x1,y1)+...+F(xk,yk)k,
vagyis teljesül a k tagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség is.
A racionális súlyokkal súlyozott Jensen-egyenlőtlenséget mindig átírhatjuk szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenséggé, melyben az egyes alappontok többször ismétlődnek. Így ezen egyenlőtlenség teljesülése is következik levezetésünkből.
 

Ahhoz, hogy a tetszőleges valós súlyokkal súlyozott Jensen-egyenlőtlenséget is szigorúan bebizonyíthassuk, fel kellene tenni a függvényről, hogy nem változhat hirtelen túl nagyot a függvényérték, ha az egyes változók csak nagyon kevéssel változnak. Természetesen először is ezt a nagyon hozzávetőlegesen fogalmazott tulajdonságot ‐ amit a függvény folytonosságának nevezünk ‐ matematikai szigorúsággal kellene megfogalmazni, azután szigorúan be kellene bizonyítani ez esetben is a Jensen-egyenlőtlenség teljesülését. Ezzel lenne teljes annak a bizonyítása, hogy a kéttagú szimmetrikus egyenlőtlenség teljesülése is elegendő ahhoz, hogy a függvény konvexségére következtethessünk. Bár ennek a részleteibe nem fogunk most belemenni, a tételt mégis fel fogjuk használni.
Nyilvánvalóan ugyanezen az úton bizonyíthatjuk azt is, hogy egy G(x1,...,xn) többváltozós függvény akkor és csakis akkor konkáv, ha bármely két (x1,...,xn) és (y1,...,yn) ,,pontra''.
G(x1+y12,...,xn+yn2)>G(x1,...,yn)+G(y1,...,yn)2.
Hasonló egyenlőtlenségekkel jellemezhetők a tágabb értelemben konvex és tágabb értelemben konkáv függvények is.