Kezdőlap


Feladat:	386. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kántor S.
Füzet:	1952/április, 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 386. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A (d) egyenlőtlenség ismételt alkalmazásával nyerjük a következőt: Legyen $u_{1} \geq u_{2} \geq ... \geq u_{k}$ , $v_{1} \geq v_{2} \geq ... \geq v_{k}$ , de legalább az egyik sorozat ne álljon csupa egyenlő elemből, végül vezessük be a következő jelöléseket:

\begin{matrix} D_{1} = \frac{f (v_{1}) - f (u_{1})}{v_{1} - u_{1}}, D_{2} = \frac{f (v_{2}) - f (u_{2})}{v_{2} - u_{2}}, ..., D_{k} = \frac{f (v_{k}) - f (u_{k})}{v_{k} - u_{k}} . \end{matrix}

Ekkor kapjuk, ha

f (x)

konvex függvény, hogy

\begin{matrix} D_{1} \geq D_{2}, D_{2} \geq D_{3}, ..., D_{k - 1} \geq D_{k}, \end{matrix}

azaz

D_{1} - D_{2} \geq 0, D_{2} - D_{3} \geq 0, ..., D_{k - 1} - D_{k} \geq 0

.
Feltevésünk szerint nem állhat mindenütt az egyenlőség jele.

\begin{matrix} Legyen & U_{1} = u_{1}, & U_{2} = u_{1} + u_{2}, & ..., & U_{k} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{k}, \\ és & V_{1} = v_{1}, & V_{2} = v_{1} + v_{2}, & ..., & V_{k} = v_{1} + v_{2} + ... + v_{k} . \end{matrix}

Ha most

U_{1} < V_{1}

U_{2} < V_{2} ...

U_{k - 1} < V_{k - 1}

, de

U_{k} = V_{k}

, akkor ezeket rendre szorozva a fönti pozitív mennyiségekkel és összeadva kapjuk, hogy

\begin{matrix} U_{1} (D_{1} - D_{2}) + U_{2} (D_{2} - D_{3}) + ... + U_{k - 1} (D_{k - 1} - D_{k}) + U_{k} D_{k} < \\ < V_{1} (D_{1} - D_{2}) + V_{2} (D_{2} - D_{3}) + ... + V_{k - 1} (D_{k - 1} - D_{k}) + V_{k} D_{k}, \end{matrix}

és a

D

-k szerint átrendezve (miután

U_{2} - U_{1} = u_{2}

U_{3} - U_{2} = u_{3}

...

U_{k} - U_{k - 1} = u_{k}

és hasonló érvényes a

V

-kre) kapjuk, hogy

\begin{matrix} u_{1} D_{1} + u_{2} D_{2} + ... + u_{k} D_{k} < v_{1} D_{1} + v_{2} D_{2} + ... + v_{k} D_{k}, \end{matrix}

ha az

f (x)

függvény konvex.