Kezdőlap


Feladat:	385. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Reichlin V. , Zatykó L.
Füzet:	1952/április, 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1951/december: 385. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Még általánosabban azt is mondhatjuk, hogy egy függvény konvex ha két húr közül, melyek egyikének mindegyik végpontja megelőzi a másik megfelelő végpontját (esetleg az egyik végpontjuk össze is eshet) mindig az első meredeksége kisebb. Legyenek a két húr végpontjának abszcisszái $x_{1}$ és $x_{2}$ ill. $ξ_{1}$ és $ξ_{2}$ , $x_{1} \leq ξ_{1}$ , $x_{2} \leq ξ_{2}$ , de a két húr ne essék egybe, akkor a feltétel így írható:

\begin{matrix} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{2}) - f (ξ_{1})}{ξ_{2} - ξ_{1}} . \end{matrix}

(d)

Itt

x_{2}

lehet kisebb is, nagyobb is

ξ_{1}

-nél és össze is eshet vele. Ha itt

x_{1}

és

ξ_{1}

egybeesik, akkor (a)-t, ha

x_{2}

és

ξ_{2}

esik egybe, akkor (b)-t, ha pedig

x_{2}

és

ξ_{1}

, akkor (c)-t kapjuk. De utóbbiakból is következtethetünk a (d) egyenlőtlenségre. Ha valamelyik két végpont egybeesik, akkor láttuk, hogy az (a), (b) vagy (c) egyenlőtlenséget kapjuk. Ha

x_{2} < ξ_{1}

, akkor (a) szerint

\begin{matrix} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{1} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{1}) - f (x_{1})}{ξ_{1} - x_{1}}, \end{matrix}

viszont (c) szerint

\begin{matrix} \frac{f (ξ_{1}) - f (x_{1})}{ξ_{1} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{2}) - f (ξ_{1})}{ξ_{2} - ξ_{1}} . \end{matrix}

A kettőből következik (d). Ha viszont

x_{2} > ξ_{1}

, akkor (a) szerint

\begin{matrix} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{2}) - f (x_{1})}{ξ_{2} - x_{1}}, \end{matrix}

viszont (b) szerint

\begin{matrix} \frac{f (ξ_{2}) - f (x_{1})}{ξ_{2} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{2}) - f (ξ_{1})}{ξ_{2} - ξ_{1}}, \end{matrix}

a kettőből ismét következik (d). A föntebbi meggondolás szerint akkor a Jensen egyenlőtlenség teljesüléséből is következik a (d) egyenlőtlenség és megfordítva a Jensen-egyenlőtlenség is (d)-ből.